Функція Міттаг-Лефлера

Функція Міттаг-Лефлера — функція Ec(z) комплексної змінної z, введена Міттаг-Лефлером в 1905 році як узагальнення показникової функції:

$\mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}$, $\alpha \in (0,+\infty )$

В даній формулі $\Gamma$ позначає гамма-функцію. Для вказаних значень параметра $\alpha$ функція Міттаг-Лефлера є голоморфною на всій комплексній площині. Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$, $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$.

Якщо дійсна частина $\alpha$ — додатне число то даний ряд є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.

Приклади

• Показникова функція:

$E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).$

• Функція помилок:

$E_{1/2}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).$

• Гіперболічний косинус:

$E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).$

• Сума геометричної прогресії:

$E_{0}(z)={\frac {1}{1-z}}.$

В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1.

Посилання

• Функція Міттаг-Лефлера на сайті MathWorld

Література

• Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970.