Функція Мертенса

В теорії чисел функція Мертенса визначається:

$M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

де μ(k) - функція Мебіуса.

Для довільного натурального числа k виконується $\mu (k)\leq 1$, тому $M(n)\leq n$. Значення функції Мертенса для перших натуральних чисел дорівнюють:

1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, -3, -2, -1, -1, -2, -2, ... послідовність A002321 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Загалом функція Мертенса зростає у додатному і від'ємному напрямках здійснюючи хаотичні коливання і набуваючи значення нуль для чисел:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... послідовність A028442 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Дане визначення можна поширити на довільні дійсні числа:

$M(x)=\sum _{1\leq k\leq x}\mu (k).$

Функція названа на честь німецького математика Франца Мертенса, що припустив виконання нерівності:

$\left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}$

З виконання гіпотези Мертенса випливала б гіпотеза Рімана. Дане припущення було спростоване в 1985 Андрієм Одлижко та Германом те Ріілем; контрприклад в наш час^[коли?] невідомий, проте відомо існування його в межах 10¹⁴ — 3,21×10⁶⁴.

Гіпотеза Рімана є еквівалентною дещо слабшому твердженню про поведінку функції Мертенса: M(n) = O(n^{1/2 + ε}).

Для функції Мертенса виконується формула:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)$

де C — замкнута крива, що оточує всі корені ζ(s) — дзета-функції Рімана.

Навпаки виконується рівність

${\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx$

що є справедливою для $Re(s)>1$.

Посилання

• A. M. Odlyzko and Herman te Riele, "Disproof of the Mertens Conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138–160.
• Weisstein, Eric W. Mertens function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Pintz, J. "An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." Astérique 147-148, 325-333 i 346, 1987. (fr)