Image summary

Probability density function of the Pearson type VII distribution

The red curve shows the limiting density with infinite kurtosis; the blue curve shows the density with kurtosis equal to 2; the black curve shows the limiting (normal) density with kurtosis identically zero.

Я, власник авторських прав на цю роботу, передаю роботу в суспільне надбання. Застосовується по всьому світу. У деяких країнах це не може бути юридично можливо, в такому випадку: Я даю кожному право на використання цієї роботи для будь-яких цілей, без будь-яких умов, якщо такі умови не вимагаються за законом.

Background

The Pearson type VII family of probability densities is a special case of the type IV family restricted to symmetric densities. The probability density function is given by

${\displaystyle f(x;a^{2},m)={\frac {\Gamma (m)}{\Gamma (m-1/2)\,{\sqrt {a^{2}\,\pi }}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)^{-m}.\!}$

All densities in this family are symmetric with zero mean. Setting ${\displaystyle a^{2}=2m-3}$ makes the variance equal to unity. Then the only free parameter is m, which controls the fourth moment (and cumulant) and hence the kurtosis. One can reparameterize with ${\displaystyle m=5/2+3/k}$ where k is the kurtosis to obtain a one-parameter leptokurtic family with zero mean, unit variance, zero skew, and arbitrary positive kurtosis k.

In the limit as ${\displaystyle k\to \infty }$ one obtains the density

${\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-5/2}\!}$

shown as the red curve. In the other direction as ${\displaystyle k\to 0}$ one obtains the standard normal density as the limiting distribution, shown as the black curve.

 

Це PNG графічне зображення було створено з допомогою Gnuplot.

Ця робота є вільним програмним забезпеченням; ви можете вільно поширювати та/або змінювати її відповідно до умов GNU General Public License, що опублікована Фондом вільного програмного забезпечення; або версії 2, або більш пізньої версії. Дана робота розповсюджується з надією, що вона буде корисною, але без будь-яких гарантій; зокрема без непрямої гарантії товарної придатності або придатності для конкретних цілей. Дивіться версію 2 і версію 3 GNU General Public License для більш докладної інформації.http://www.gnu.org/licenses/gpl.htmlGPLGNU General Public Licensetruetrue

Є векторний варіант цього зображення (SVG). Його слід використовувати замість цієї растрової версії для більш якісного відображення. File:Pearson type VII distribution PDF.png → File:Pearson type VII distribution PDF.svg Щоб дізнатися більше про векторну графіку, прочитайте статтю «Перетворення зображень у формат SVG». Також доступна інформація про підтримку формату SVG у MediaWiki. На інших мовах Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

See also

• Image:Pearson type VII distribution log-PDF.png