Теорема ван Обеля про трикутник

Теорема ван Обеля про трикутник — класична теорема афінної геометрії.

Формулювання

Випадок, коли всі три точки лежать на сторонах трикутника, а не на їх продовженнях.

Випадок, коли дві точки лежать на продовженнях сторін.

Якщо прямі $AP$, $BP$, $CP$ перетинають відповідно прямі $BC$, $CA$ і $AB$, що містять сторони трикутника $ABC$, відповідно в точках $A_{1}$, $B_{1}$ і $C_{1}$, то виконується рівність відношень напрямлених відрізків:

${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$.

Зауваження

• Якщо відрізки співнапрямлені (однаково спрямовані), то верхні знаки напрямлених відрізків можна прибрати, і ми отримаємо скалярний варіант теореми ван Обеля:

  ${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$.

Про доведення

Зазвичай доводиться застосуванням методу центрів мас; доведення можна також побудувати на основі теореми Менелая.

Див. також

• Теорема ван Обеля про чотирикутник