Теорема Рауса

теорема геометрії трикутника
Routh theorem2.svg

Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику точки , і лежать на сторонах , і відповідно, то, якщо позначити , і , орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами , і відносно площі трикутника виражається співвідношенням

Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі медіани перетинаються в центроїді.

ДоведенняРедагувати

Нехай площа трикутника   дорівнює  . Для трикутника   і лінії  , за теоремою Менелая, отримаємо:

 

Тоді  . Тому площа трикутника   дорівнює

 

Аналогічно, отримуємо:   і  .

Таким чином, площа трикутника   дорівнює:

 
 
 

ПосиланняРедагувати

  • Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.
  • HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.
  • JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
  • Jay Warendorff. Routh 's Theorem The Wolfram Demonstrations Project .
  • Weisstein, Eric W. Routh's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Routh's Theorem by Cross Products — MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.