Відкрити головне меню

Теорема Паулі про зв'язок спіну зі статистикою - теорема квантової теорії поля, яка пов'язує спін вільних одночастинкових станів зі статистикою (Бозе-Ейнштейна чи Фермі-Дірака), яка їх описує. Теорема була сформульована та доведена Вольфгангом Паулі у 1940-му році у статті "Зв'язок між спіном і статистикою"[1].

Зміст

Формулювання теоремиРедагувати

Теорема Паулі зазвичай формулюється наступним чином:

Нехай простір станів фізичної системи має додатно визначену метрику, і кожному стану відповідає додатня енергія. Тоді у локальній лоренц-інваріантній теорії поля, в якій виконуються ці дві умови, поля, які описують частинки із цілим спіном, локально комутують між собою та із спінорними полями, а поля, що описують частинки із напівцілим спіном, локально антикомутують.

Доведення теореми [2]Редагувати

1. Отже, нехай   - довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом  . За час   збурення, яке вийшло з точки   та розповсюджується із швидкістю в  , пройде відстань   меншу, ніж  . Тому точка   не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки  , а отже, вимірювання у точках   не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам   при  , повинні комутувати один із одними:

 .

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, є деякими функціями полів, точніше - поліномами виду

 .

Тут   побудований із лоренц-коваріантних об'єктів - тензора Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів тощо,   - набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання   необхідно накласти одну з умов

 ,

де  . Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені). До аналогічного результату можна прийти, вимагаючи від S-оператора лоренц-інваріантності.

Масивним полем спіну     є об'єкт

 ,

де мітка   пробігає   значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

 ,

якщо поле є полем цілого спіну, чи напівцілого спіну із відсутністю інваріантності відносно просторових інверсій, і

 ,

якщо теорія вільного поля напівціого є інваріантною відносно просторових інверсій.

Безмасовим полем спіральності   є вираз

 .

Безмасовим полем спіральності   є вираз

 .

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень - комутаторним чи антикомутаторним рівностям

 ,
 ,

причому для одного поля   мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

 .

3. Для випадку теорій цілого спіну та теорій напівцілого спіну, неінваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор полів має вигляд

 .

Тут   - поліном по похідним відповідно лише парних та непарних степенів для цілого та напівцілого спіну.

Для просторовоподібних інтервалів  , тому   набуває вигляду

 .

У результаті при   маємо

 .

Звідси очевидно, що у випадку цілого спіну для рівності нулю виразу   треба вибирати комутатор, а у випадку напівцілого - антикомутатор.

3. Для випадку теорій напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор має вигляд

 .

Тут поліном   має доданки, що складаються із добутків парних кількостей похідних та гамма-матриць, і доданки, що складаються із добутків непарних кількостей похідних та гамма-матриць. Повторюючи міркування п. 3, обираємо   та знак, що відповідає антикомутатору.

Теорема доведена повністю.

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

  1. W. Pauli "The Connection Between Spin and Statistics", Phys. Rev. 58, 716–722 (1940), pdf
  2. Теорема Паулі