Теорема Морлі
Теорема Морлі про трисектриси трикутника — одна з найдивовижніших теорем геометрії трикутника.
Теорема стверджує:
|
На кресленні праворуч три різнокольорових кута при кожній вершині великого трикутника рівні між собою. Теорема стверджує, що незалежно від вибору великого трикутника, маленький фіолетовий трикутник буде рівностороннім.
Теорема Морлі не виконується в сферичній [1] і гіперболічній геометрії.
Терема Морлі для трисектрис зовнішніх кутів трикутника ред.
Теорема також справедлива для зовнішніх кутів трикутника: [2] [3]
|
Крім того продовження трисектрис внутрішніх кутів також перетинаються з суміжними трисектрисами зовнішніх кутів у вершинах цих трикутників.
Історія ред.
Теорема була відкрита в 1904 Франком Морлі (Frank Morley[en]). Тоді він розповів про неї друзям з Кембриджського університету , а опублікував її в 1924 році, коли він був у Японії. [4]. За цей час вона була незалежно опублікована як задача в часописі «Educational Times».
Доведення ред.
Існує багато способів доведення теореми Морлі, деякі з яких дуже технічні[5].
Кілька ранніх доказів ґрунтувалися на тригонометричних розрахунках. До останніх доказів теореми належать алгебраїчний доказ Алена Конна (1998, 2004), який поширює теорему на загальні поля, окрім тих що мають характеристику три, і елементарний геометричний доказ Джона Конвея [6] [7] . Останній починається з рівностороннього трикутника і показує, що навколо нього можна побудувати трикутник, подібний до будь-якого обраного трикутника.
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
Для доведення використаємо тригонометричну тотожність:
-
(
)
-
Точки побудовані на стороні як показано на малюнку.
Сума внутрішніх кутів трикутника = 180o, а значить: ,
Отже,
Кути трикутника дорівнюють: та
З прямокутних трикутників, маємо:
-
(
)
-
-
(
)
-
Далі:
аналогічно і
-
(
)
-
Застосовуємо теорему синусів для трикутників та :
-
(
)
-
-
(
)
-
Висоту трикутника знаходимо двома способами:
та
Підставляємо замість синусів їх значення з рівнянь (2) та (5) , а також (3) та (6). Отримуємо:
та
Оскільки чисельники в обох виразах рівні, то:
або:
Оскільки , а сторони, що утворюють ці кути, знаходяться в однаковому співвідношенні, то трикутники та подібні. Відповідні кути та рівніl , а кути та рівні Рівні також і відповідні кути при основі трикутників та Зокрема і з малюнка можемо бачити, що:
Підставляємо їх значення (кут беремо з рівняння (4)):
Звідки отримуємо:
- Аналогічно знаходимо, що і іншу кути трикутника рівні Теорему доведено.
Трикутники Морлі ред.
Теорема Морлі містить 18 спеціальних трикутників (рівносторонніх і різносторонніх), які виникають при перетині трисектрис трикутника.[3] [8] [9] [10]
Правильний трикутник, описаний вище в теоремі про трисектриси внутрішніх кутів, називається першим трикутником Морлі[8], і має довжину сторони:
та площу:
де R - радіус описаного кола початкового трикутника, а A, B та C - його внутрішні кути.
З першим трикутником Морлі також пов'язані дві чудові точки трикутника - перша та друга точки Морлі[en], які в Енциклопедії центрів трикутника ETC Кларка Кімберлінга мають номери X(356) та X(357). [11] [12]
Див. також ред.
- Трисекція кута — задача про побудову трисектрис кута за допомогою циркуля та лінійки
- Трисектриса
Примітки ред.
- ↑ Morley's Theorem in Spherical Geometry.
- ↑ A. Wells, D., 1991, с. 155.
- ↑ а б Weisstein, Eric W. Morley's Theorem. MathWorld (англ.).
- ↑ Alfred S. Posamentier (2003). Math Wonders to Inspire Teachers and Students. (англ.). Alexandria, Virginia USA: Association for Supervision and Curriculum Development. с. 146. ISBN 0-87120-775-3.
- ↑ Alexander Bogomolny[en]. Morley's Miracle. — Cut-the-knot.
- ↑ Alexander Bogomolny[en]. J. Conway's proof. — Cut-the-knot.
- ↑ Conway John. The Power of Mathematics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 36–50. — ISBN 978-0-521-82377-7.
- ↑ а б Weisstein, Eric W. First Morley Triangle. MathWorld (англ).
- ↑ Weisstein, Eric W. Second Morley Triangle. MathWorld (англ).
- ↑ Weisstein, Eric W. Third Morley Triangle. MathWorld (англ.).
- ↑ Clark Kimberling. ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS. faculty.evansville.edu (англ.).
- ↑ Kimberling, Clark. 1st and 2nd Morley centers.
Джерела ред.
- H. S. M. Coxeter, Samuel L.Greitzer. ""Morley's Theorem." §2.9 in Geometry Revisited.. — Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1967. — Т. 19. — С. 193: 47-50 (англ.).
- Wells, D. "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry". — London: Penguin, 1991. — С. 154-155. — ISBN 0-14-011813-6.
- Child, J. M. "Proof of Morley's Theorem.". — Math. Gaz., 1923. — № 11. — С. 171 (англ.).
- Taylor, F. G. and Marr, W. L. "The six trisectors of each of the angles of a triangle" // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1913–14. — № 33. — С. 119–131 (англ). — DOI: .
Посилання ред.
- Weisstein, Eric W. Morley's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Morley's Trisection Theorem на MathPages