Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

теорема про наближення алгебричних чисел

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо  — алгебричне число степеня , а та  — будь-які цілі числа , то виконується нерівність

де  — додатна константа, що залежить тільки від і виражається в явному вигляді через пов'язані з величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

УзагальненняРедагувати

При   теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для   теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел   степеня   і   виконується нерівність

     (*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

 , де   — ціле, зокрема, при  . Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при  . Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому  . Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число  , алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень  , що задовольняють нерівності
 .

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, яким чином стала   в нерівності залежить від величин   і  .

Див. такожРедагувати

ПосиланняРедагувати