(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру[1] )
Оскільки розв'язки системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
обмежені, то характеристичні корені
λ
(
A
)
{\displaystyle \lambda \ (A)}
матриці
A
{\displaystyle A}
задовольняють рівність
R
e
λ
(
A
)
≤
0
,
{\displaystyle Re\lambda \ (A)\leq \ 0,}
причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.
Без обмеження загальності припустимо, що матриця
A
{\displaystyle A}
має квазідіагональний вигляд
A
=
d
i
a
g
(
A
1
,
A
2
)
,
(
4
)
{\displaystyle \quad A=diag(A_{1},A_{2}),\quad (4)}
де
A
1
{\displaystyle \quad A_{1}}
та
A
2
{\displaystyle \quad A_{2}}
-- відповідно,
(
p
×
p
)
{\displaystyle (p\times p)}
- та
(
q
×
q
)
{\displaystyle (q\times q)}
-матриці
(
p
+
q
)
{\displaystyle \quad (p+q)}
такі, що
R
e
λ
(
A
1
)
<
−
α
<
0
,
{\displaystyle Re\lambda \ (A_{1})<-\alpha <\ 0,}
R
e
λ
(
A
2
)
=
0
,
(
5
)
{\displaystyle Re\lambda \ (A_{2})=0,\quad (5)}
Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень
ξ
=
S
x
,
{\displaystyle \xi \ =S{\boldsymbol {x}},}
та
η
=
S
y
,
{\displaystyle \eta \ =S{\boldsymbol {y}},}
де
S
{\displaystyle \quad S}
— стала
(
n
×
n
)
{\displaystyle (n\times n)}
-матриця , причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими
ξ
(
t
)
⟺
η
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)\Longleftrightarrow {\boldsymbol {\eta }}(t)}
індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими
x
(
t
)
=
S
−
1
ξ
(
t
)
⟺
S
−
1
η
(
t
)
=
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=S^{-1}\xi (t)\Longleftrightarrow S^{-1}\eta (t)={\boldsymbol {y}}(t)}
.
Крім того, з граничного відношення
ξ
(
t
)
−
η
(
t
)
→
0
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}(t)-{\boldsymbol {\eta }}(t)\to 0,}
при
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
очевидно, випливає граничне відношення
x
(
t
)
−
y
(
t
)
→
0
,
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)-{\boldsymbol {y}}(t)\to 0,}
при
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
.
1
)
{\displaystyle \quad 1)}
Нехай
X
(
t
)
=
d
i
a
g
(
e
t
A
1
,
e
t
A
2
)
{\displaystyle \quad X(t)=diag(e^{tA_{1}},e^{tA_{2}})}
— фундаментальна матриця системи
(
1
)
,
{\displaystyle \quad (1),}
нормована в нулі:
X
(
t
)
=
E
,
{\displaystyle \quad X(t)=E,}
та
I
1
=
d
i
a
g
(
E
p
,
0
)
,
{\displaystyle \quad I_{1}=diag(E_{p},0),}
та
I
2
=
d
i
a
g
(
0
,
E
q
)
,
{\displaystyle \quad I_{2}=diag(0,E_{q}),}
де
E
q
{\displaystyle \quad E_{q}}
та
E
p
{\displaystyle \quad E_{p}}
— одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно,
I
1
+
I
2
=
E
n
.
{\displaystyle \quad I_{1}+I_{2}=E_{n}.}
Покладемо
X
(
t
)
=
X
1
(
t
)
+
X
2
(
t
)
,
{\displaystyle \quad X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),}
де
X
1
(
t
)
=
X
(
t
)
I
1
≡
d
i
a
g
(
e
t
A
1
,
0
)
,
{\displaystyle \quad X_{1}(t)=X(t)I_{1}\equiv diag(e^{tA_{1}},0),}
та
X
2
(
t
)
=
X
(
t
)
I
2
≡
d
i
a
g
(
0
,
e
t
A
2
)
{\displaystyle \quad X_{2}(t)=X(t)I_{2}\equiv diag(0,e^{tA_{2}})}
.
Звідси матрицю Коши
K
(
t
,
τ
)
≡
X
(
t
)
X
−
1
(
τ
)
=
X
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \quad K(t,\tau )\equiv X(t)X^{-1}(\tau )=X(t-\tau )}
можна представити у вигляді:
K
(
t
,
τ
)
=
X
1
(
t
−
τ
)
+
X
2
(
t
−
τ
)
,
{\displaystyle \quad K(t,\tau )=X_{1}(t-\tau )+X_{2}(t-\tau ),}
причому за умови
(
5
)
{\displaystyle \quad (5)}
маємо
‖
X
1
(
t
)
‖
=
‖
e
t
A
1
‖
≤
a
e
−
α
t
,
{\displaystyle \lVert X_{1}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{1}}\rVert \leq ae^{-\alpha t},}
при
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq t<\infty }
(
6
)
{\displaystyle \quad (6)}
та
‖
X
2
(
t
)
‖
=
‖
e
t
A
2
‖
≤
b
,
{\displaystyle \lVert X_{2}(t)\rVert =\lVert e^{tA_{2}}\rVert \leq b,}
при
−
∞
<
t
<
∞
{\displaystyle -\infty <t<\infty }
(
7
)
,
{\displaystyle \quad (7),}
де
a
,
b
{\displaystyle \quad a,b}
- деякі додатні константи.
Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння
(
2
)
{\displaystyle \quad (2)}
можна записати в інтегральній формі
y
(
t
)
=
X
(
t
−
t
0
)
y
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
X
1
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
+
{\displaystyle \quad y(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +}
+
∫
t
0
t
X
2
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
,
{\displaystyle +\int _{t_{0}}^{t}X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau ,}
де
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
довільне.
Оскільки матриця
B
(
t
)
{\displaystyle \quad B(t)}
абсолютно інтегровна на
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle [0,\infty ),}
то всі розв'язки
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}
системи
(
2
)
{\displaystyle \quad (2)}
обмежені на
[
0
,
∞
)
,
{\displaystyle [0,\infty ),}
і тому невласний інтеграл
∫
t
0
∞
X
2
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau }
є збіжним.
Звідси, враховуючи, що
X
2
(
t
−
τ
)
=
X
(
t
−
τ
)
I
2
=
X
(
t
−
t
0
)
X
(
t
0
−
τ
)
I
2
=
X
(
t
−
t
0
)
X
2
(
t
0
−
τ
)
,
{\displaystyle \quad X_{2}(t-\tau )=X(t-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X(t_{0}-\tau )I_{2}=X(t-t_{0})X_{2}(t_{0}-\tau ),}
наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді
y
(
t
)
=
X
(
t
−
t
0
)
[
y
(
t
0
)
+
∫
t
0
∞
X
2
(
t
0
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
]
+
{\displaystyle \quad y(t)=X(t-t_{0})\left\lbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \right\rbrack +}
+
∫
t
0
t
X
1
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
−
∫
t
∞
X
2
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
(
8
)
{\displaystyle +\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (8)}
Розв'язку
y
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}
системи
(
2
)
{\displaystyle \quad (2)}
з початковою умовою
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}}
співставимо розв'язок
x
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}
системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
з початковою умовою
x
(
t
0
)
=
y
0
(
t
0
)
+
∫
t
0
∞
X
2
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
(
9
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau (9)}
Оскільки розв'язки
x
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}
та
y
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t)}
повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула
(
9
)
{\displaystyle \quad (9)}
встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків
{
y
(
t
)
}
{\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {y}}(t)\rbrace }
системи
(
2
)
{\displaystyle \quad (2)}
та множиною розв'язків
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }
(або її частиною) системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
. Зауважимо, що відношення
(
9
)
{\displaystyle \quad (9)}
неперервне відносно початкового значення
y
(
t
0
)
=
y
0
.
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t_{0})={\boldsymbol {y_{0}}}.}
2
)
{\displaystyle \quad 2)}
Покажемо, що відповідність між розв'язками
x
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}
та
y
(
t
)
,
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {y}}(t),}
що визначається формулою
(
9
)
,
{\displaystyle \quad (9),}
є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle \lbrace {\boldsymbol {x}}(t)\rbrace }
.
Нехай
Y
(
t
)
{\displaystyle \quad Y(t)}
— фундаментальна матриця системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
така, що
Y
(
t
0
)
=
E
{\displaystyle \quad Y(t_{0})=E}
.Маємо
Y
(
t
)
=
X
(
t
−
t
0
)
+
∫
t
0
t
X
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
Y
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle Y(t)=X(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}X(t-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau .}
Але з нерівностей
(
6
)
,
(
7
)
{\displaystyle \quad (6),(7)}
випливає
‖
X
(
t
−
t
0
)
‖
≤
m
a
x
(
a
,
b
)
=
c
,
{\displaystyle \lVert X(t-t_{0})\rVert \leq max(a,b)=c,}
при
t
≥
t
0
{\displaystyle t\geq t_{0}}
;
тому
‖
Y
(
t
)
‖
≥
c
+
∫
t
0
t
c
‖
B
(
τ
)
‖
‖
Y
(
τ
)
‖
d
τ
{\displaystyle \lVert Y(t)\rVert \geq c+\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau }
та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо
‖
Y
(
t
)
‖
≥
c
exp
(
∫
t
0
t
c
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
)
≥
c
exp
(
c
∫
0
∞
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
)
=
k
,
{\displaystyle \lVert Y(t)\rVert \geq c\,\exp(\int _{t_{0}}^{t}c\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )\geq c\,\exp(c\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau )=k,\quad }
при
t
0
≥
t
<
∞
(
10
)
,
{\displaystyle t_{0}\geq t<\infty \qquad (10),}
причому константа
k
{\displaystyle \quad k}
за оцінкою
(
10
)
{\displaystyle \quad (10)}
не залежить від вибору початкового моменту
t
0
(
t
0
≤
0
)
.
{\displaystyle t_{0}(t_{0}\leq 0).}
Очевидно, маємо
y
(
t
)
=
Y
(
t
)
y
(
t
0
)
.
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)=Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0}).}
Тому з формули
(
9
)
{\displaystyle \quad (9)}
отримуємо
y
(
t
0
)
=
[
E
+
Z
(
t
0
)
]
y
(
t
0
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack {\boldsymbol {y}}(t_{0}),\quad }
де
Z
(
t
0
)
=
∫
t
0
∞
X
2
(
t
0
−
τ
)
B
(
τ
)
Y
(
τ
)
d
τ
,
{\displaystyle Z(t_{0})=\int _{t_{0}}^{\infty }X_{2}(t_{0}-\tau )B(\tau )Y(\tau )\,d\tau ,\quad }
причому на основі
(
7
)
,
(
10
)
{\displaystyle \quad (7),(10)}
виводимо
‖
Z
(
t
0
)
‖
≥
∫
t
0
∞
‖
X
2
(
t
0
−
τ
)
‖
‖
B
(
τ
)
‖
‖
Y
(
τ
)
‖
d
τ
≥
b
k
∫
t
0
∞
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
(
12
)
.
{\displaystyle \lVert Z(t_{0})\rVert \geq \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert X_{2}(t_{0}-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert Y(\tau )\rVert \,d\tau \geq bk\int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \quad (12).}
Оскільки матриця
B
(
t
)
{\displaystyle \quad B(t)}
абсолютно інтегровна на
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \quad [0,\infty )}
, то
∫
t
0
∞
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
→
0
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \to 0}
при
t
0
→
∞
{\displaystyle t_{0}\to \infty }
, отже, в силу
(
12
)
{\displaystyle \quad (12)}
початковий момент
t
0
{\displaystyle \quad t_{0}}
можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність
det
[
E
+
Z
(
t
0
)
]
>
0.
(
13
)
{\displaystyle \det \lbrack E+Z(t_{0})\rbrack >0.(13)}
Надалі
t
0
{\displaystyle \quad t_{0}\quad }
будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності
(
13
)
{\displaystyle \quad (13)}
. Звідси та з формули
(
11
)
{\displaystyle \quad (11)}
виводимо
y
(
t
0
)
=
[
E
+
Z
(
t
0
)
]
<
s
u
p
>
−
1
<
/
s
u
p
>
x
(
t
0
)
.
(
14
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})=\lbrack E+Z(t_{0})\rbrack <sup>-1</sup>{\boldsymbol {x}}(t_{0}).\qquad (14)}
Оскільки формули
(
11
)
{\displaystyle \quad (11)}
та
(
14
)
{\displaystyle \quad (14)}
рівносильні, то для кожного розв'язку
x
(
t
)
{\displaystyle \quad {\boldsymbol {x}}(t)}
системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
з початковою умовою
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})={\boldsymbol {x_{0}}}\quad }
знайдеться тільки один розв'язок
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }
системи
(
2
)
,
{\displaystyle \quad (2),}
що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова
y
(
t
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t_{0})\quad }
якого визначається формулою
(
14
)
.
{\displaystyle \quad (14).}
Відповідність між розв'язками
x
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)}
та
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}
, що встановлюється формулами
(
11
)
{\displaystyle \quad (11)}
та
(
14
)
,
{\displaystyle \quad (14),\quad }
— взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)}
відповідає один і тільки один розв'язок
x
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }
, і навпаки.
Відмітимо, що тривіальному розв'язку
y
≡
0
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}\equiv 0\quad }
відповідає тривіальний розв'язок
x
≡
0
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\equiv 0\quad }
та в силу лінійності співвідношень
(
11
)
{\displaystyle \quad (11)}
та
(
14
)
{\displaystyle \quad (14)}
різними розв'язками
y
1
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y_{1}}}(t)}
та
y
2
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y_{2}}}(t)\quad }
системи
(
2
)
,
{\displaystyle \quad (2),}
відповідають різні розв'язки
x
1
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x_{1}}}(t)\quad }
та
x
2
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x_{2}}}(t)\quad }
системи
(
1
)
,
{\displaystyle \quad (1),}
і навпаки.
3
)
{\displaystyle \quad 3)}
Для відповідних розв'язків
x
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)\quad }
та
y
(
t
)
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)\quad }
оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,
x
(
t
)
=
X
(
t
−
t
0
)
x
(
t
0
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=X(t-t_{0}){\boldsymbol {x}}(t_{0}),\qquad }
де
x
(
t
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t_{0})}
визначається формулою
(
9
)
{\displaystyle \quad (9)}
, то з формули
(
8
)
{\displaystyle \quad (8)}
маємо
y
(
t
)
−
x
(
t
)
=
∫
t
0
t
X
1
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
−
∫
t
∞
X
2
(
t
−
τ
)
B
(
τ
)
y
(
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}X_{1}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau -\int _{t}^{\infty }X_{2}(t-\tau )B(\tau ){\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau .}
Звідси, враховуючи, що
‖
y
(
t
)
‖
=
‖
Y
(
t
)
y
(
t
0
)
‖
≤
‖
Y
(
t
)
‖
‖
y
(
t
0
)
‖
≤
k
‖
y
(
t
0
)
‖
,
{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)\rVert =\lVert Y(t){\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \leq \lVert Y(t)\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \leq k\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert ,}
при
t
≥
t
0
,
{\displaystyle t\geq t_{0},}
на основі оцінок
(
6
)
{\displaystyle \quad (6)}
та
(
7
)
{\displaystyle \quad (7)}
отримуємо
‖
y
(
t
)
−
x
(
t
)
‖
≤
∫
t
0
t
‖
X
1
(
t
−
τ
)
‖
‖
B
(
τ
)
‖
‖
y
(
τ
)
d
τ
+
∫
t
∞
‖
X
2
(
t
−
τ
)
‖
‖
B
(
τ
)
‖
‖
y
(
τ
)
d
τ
≤
{\displaystyle \lVert {\boldsymbol {y}}(t)-{\boldsymbol {x}}(t)\rVert \leq \int _{t_{0}}^{t}\lVert X_{1}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau +\int _{t}^{\infty }\lVert X_{2}(t-\tau )\rVert \lVert B(\tau )\rVert \lVert {\boldsymbol {y}}(\tau )\,d\tau \leq }
≤
a
k
‖
y
(
t
0
)
‖
∫
t
0
t
e
−
α
(
t
−
τ
)
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
+
b
k
‖
y
(
t
0
)
‖
∫
t
∞
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
.
(
15
)
{\displaystyle \leq ak\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\lVert \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,bk\,\lVert {\boldsymbol {y}}(t_{0})\rVert \int _{t}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau .(15)}
Враховуючи абсолютну інтегровність матриці
B
(
t
)
{\displaystyle \quad B(t)}
при
t
≥
2
t
0
{\displaystyle t\geq 2t_{0}}
маємо
∫
t
0
t
e
−
α
(
t
−
τ
)
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
=
∫
t
0
t
2
e
−
α
(
t
−
τ
)
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
+
∫
t
2
t
e
−
α
(
t
−
τ
)
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
≤
{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =\int _{t_{0}}^{\frac {t}{2}}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \leq }
≤
e
−
α
t
2
∫
0
∞
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
+
∫
t
2
t
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
<
ε
,
{\displaystyle \leq e^{-{\frac {\alpha t}{2}}}\int _{0}^{\infty }\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,+\,\int _{\frac {t}{2}}^{t}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau \,<\varepsilon \,,}
якщо
t
>
T
.
{\displaystyle \quad t>T.}
Отже,
lim
t
→
∞
∫
t
0
t
e
−
α
(
t
−
τ
)
‖
B
(
τ
)
‖
d
τ
=
0.
{\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }\int _{t_{0}}^{t}e^{-\alpha (t-\tau )}\lVert B(\tau )\rVert \,d\tau =0.}
Таким чином, з нерівності
(
15
)
{\displaystyle \quad (15)}
виводимо
lim
t
→
∞
[
x
(
t
)
−
y
(
t
)
]
=
0
,
{\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0,}
тобто системи
(
1
)
{\displaystyle \quad (1)}
та
(
2
)
{\displaystyle \quad (2)}
асимптотично еквівалентні.
Доведено.