Теорема Куранта — Фішера

теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій

Теорема Куранта — Фішера — теорема про властивість ермітового оператора в гільбертовому просторі функцій. Також називається теоремою про мінімакс[1].

ФормулюванняРедагувати

 
  — лінійний самоспряжений оператор, що діє в скінченновимірному комплексному або дійсному просторі,
  — одинична сфера,
  — ортонормований базис простору  , що складається з власних векторів оператора  ,
  —  власне значення оператора   і  
  —  -вимірний підпростір  .

ДоведенняРедагувати

 ,   —  -вимірний підпростір  ,  — лінійна оболонка векторів  .  . Звідки випливає, що  . Нехай   і  . Оскільки   то  . З іншого боку: так як   то

 
 

Рівність досягається при  .

ДодатковоРедагувати

Очевидно, що  .

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190

ЛітератураРедагувати

  1. Р. Беллман. Введение в теорию матриц
  2. Ланкстер. Теория Матриц
  3. Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
  4. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия