Відкрити головне меню

Теорема Діріхле про арифметичні прогресії

Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії — важлива теорема у аналітичній теорії чисел, вперше доведена німецьким математиком Йоганном Петером Густавом Лежен-Діріхле.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай   — цілі числа, і   (тобто   є взаємно простими).

Тоді існує нескінченна кількість простих чисел   таких, що  .

З цього випливає, що кожна нескінченна арифметична прогресія, перший член і різниця якої — натуральні взаємно прості числа, містить нескінченну кількість простих чисел.

Історія доведеньРедагувати

Теорема в даному формулюванні була доведена Діріхле аналітичними засобами у 1837 році. Надалі були знайдені доведення теореми елементарними методами[1]. Різні такі доведення знайшли Мертенс, Сельберг і Цассенхаус.

ПрикладиРедагувати

Нижче подані приклади кількох арифметичних прогресій і найменших простих чисел у цих прогресіях

Арифметична
прогресія
10 найменших простих чисел Послідовність у OEIS
2n + 1 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … Послідовність A065091 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4n + 1 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … Послідовність A002144 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4n + 3 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … Послідовність A002145 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6n + 1 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … Послідовність A002476 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6n + 5 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … Послідовність A007528 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 1 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … Послідовність A007519 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 3 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … Послідовність A007520 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 5 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … Послідовність A007521 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
8n + 7 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … Послідовність A007522 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 1 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … Послідовність A030430 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 3 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … Послідовність A030431 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 7 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … Послідовність A030432 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10n + 9 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … Послідовність A030433 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 1 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … Послідовність A068228 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 5 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … Послідовність A040117 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 7 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … Послідовність A068229 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
12n + 11 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … Послідовність A068231 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

ВаріаціїРедагувати

При розгляді простих   досить часто виявляється, що їх множина має багато властивостей множини всіх простих чисел. Існує чимало теорем і гіпотез, що розглядають тільки прості числа з певного класу лишків або співвідношення множин простих чисел з різних класів лишків.

Наприклад, крім основного твердження теореми Діріхле довів у 1839 році, що для будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих чисел   і   :

 

де сума є по всіх простих числах   з умовою  , а   — функція Ейлера.

Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків  , оскільки

 

якщо сума є по всіх простих числах.

Відомо, що для будь-яких взаємно простих чисел   і   ряд  , де сума є по простих   є розбіжним.

ПриміткиРедагувати

  1. Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, +1962.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати