Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теоре́ма Гю́йгенса — Штейнера, або теорема Штейнера (названа іменами швейцарського математика Якова Штейнера і нідерландського математика, фізика і астронома Хрістіана Гюйгенса): момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно осі, що проходить через центр маси тіла паралельно до осі, що розглядається і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями:

Ілюстрація до теореми Гюйгенса-Штейнера.
.

Момент інерції досягає свого мінімального значення, коли вісь проходить через центр мас.

Наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його кінець, становить:

Перерахунок тензора моменту інерціїРедагувати

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускає узагальнення на тензор моменту інерції, що дозволяє отримати тензор   відносно довільної точки з тензора   відносно центру мас. Нехай d — зміщення від центру мас, тоді

 

де

  — вектор зміщення від центру мас,
  — символ Кронекера.

Як видно, для діагональних елементів тензора (при i = j) формула набуде вигляду теореми Гюйгенса-Штейнера для перерахунку моменту інерції відносно паралельної осі.


ДоведенняРедагувати

Будемо розглядати абсолютно тверде тіло, утворене сукупністю матеріальних точок.

Згідно визначення моменту інерції для   та   можна записати :

 ,

 ,

де   — радіус-вектор точки тіла в системі координат з початком, який знаходиться в центрі мас, а   — радіус-вектор точки нової системи координат, через початок якої проходить нова вісь.

Радіус-вектор можна розписати як суму двох векторів :

  ,

де   — радіус-вектор відстаней між старою (яка проходить через центр масс) і новою віссю обертання. Тоді вираз для момента інерції набуде вигляду :

 .

Винісши d за суму, отримаємо :

  .

Згідно визначення центру мас, для його радіус-вектора виконується

  ,

Оскільки в системі координат з початком, який знаходиться в центрі масс, радіус-вектор дорівнює нулю, то буде виконуватися наступна рівність :

  ,

Тоді :

  ,

звідки і слідує шукана формула :

  ,

де   — відомий момент інерції відносно осі, яка проходить через центр мас тіла.

Якщо тіло складається не із матеріальних точок, а утворено неперервно розподіленою масою, то в усіх вище наведених формулах сумування змінюється на інтегрування. Доведення при цьому є ідентичним, лише за винятком того, що буде інтеграл, а не сума.

Наслідок: з отриманої формули очевидно, що  . Тому можна стверджувати, що момент інерції тіла відносно осі, який проходить через центр мас тіла, є найменшим серед всіх моментів інерцій тіла відносно осей, які мають аналогічний напрям.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів.- К.: Техніка,2002.- 512 с. ISBN 966-575-184-0.
  • Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник.- К.: ЦУЛ, 2004.- 402 с. ISBN 966-8253-79-5
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка.- Київ: Вища школа, 1975. — 516 с.

ПосиланняРедагувати