Теорема Гопфа — Рінова

Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду $M$ наступні твердження еквівалентні:

$M$ — є повним метричним простором;
Для деякої точки $p\in M$ експоненційне відображення $\exp _{p}:T_{p}\to M$ визначено для всіх векторів у $T_{p}$ (де $T_{p}$ — дотичний простір до $M$ в точці $p$ ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
Кожна множина, обмежена і замкнута в $M$ , є компактною.

Наслідки ред.

Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Сфера $\mathbb {S} ^{n}$ , евклідовий простір $\mathbb {R} ^{n}$ і гіперболічний простір $\mathbb {H} ^{n}$ є геодезично повними;
Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
Метричний простір $M:=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки $p=(x_{1},x_{2})\in M$ і $q=(-x_{1},-x_{2})\in M$ не зв'язані жодною геодезичною лінією в $M$ .

Теорема Гопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо $(X,\rho )$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору $X$ можна з'єднати найкоротшою лінією.
Теорема Гопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією ^[1]. Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца ^[2].

↑ Atkin, C. J. (1975), The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261—266, doi:10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283 {{citation}}: Перевірте значення |doi= (довідка).
↑ O'Neill, Barrett (+1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, т. 103, Academic Press, с. 193, ISBN 9780080570570, архів оригіналу за 14 травня 2021, процитовано 24 жовтня 2018.

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.