Відкрити головне меню

В теорії чисел теорема Вілсона стверджує, що натуральне число n>1 є простим в тому і тільки тому випадку коли справджується рівність:

Зміст

ІсторіяРедагувати

Теорема вперше була сформульована індійським математиком Бхаскарою, а згодом арабським вченим Ібн аль Хайтамом. В Європі її сформулював без доведення англійський математик Джон Вілсон, на честь якого вона названа. Перше відоме доведення дав Лагранж у 1773 році.

ДоведенняРедагувати

Нехай p деяке просте число. Елементарними обчисленнями можна переконатися, що теорема справджується для p=2 і p=3. Тож вважатимемо, що p > 3. Якщо для деякого цілого справджується рівність:

 

то справджується також   або

 

Тож у випадку, якщо  , маємо   або  .

Якщо ж  , тоді існує деяке  , відмінне від  , таке, що  . Таким чином справджується:

 .

Дана рівність еквівалентна наступній:

 ,

звідки випливає, що   ділиться на  . Тоді   і як наслідок

 

зважаючи, що   маємо

 ,

звідки

 .

Тому маємо

 

і число   не ділиться на  .

Застосування теоремиРедагувати

Теорема Вілсона може бути використана для перевірки чисел на простоту. Наприклад відповідний алгоритм на мові С++:

int factorial(int x) {
    if( x == 0 ) return 1;
    return x * factorial (x - 1);
}
bool simpleInt (int p)
{
  return ((factorial (p-1)+1)%p==0);
}

Проте через складність обчислення факторіалу даний метод є дуже неефективним.

Дивись такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Бухштаб А. А. Теория чисел, 2-е издание, М., 1966
  • Трост Э. Простые числа, пер. с нем., М., 1959