Відкрити головне меню

Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика Еміля Барб'є, що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.

ФормулюванняРедагувати

Теорема.

Довжина будь якої кривої сталої ширини   дорівнює  .

ДоведенняРедагувати

Існує кілька доведень теореми Барб'є:

  • Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини  , якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса  . З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса  , тобто  .[1]
  • Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані   одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює  , де   — периметр цієї фігури[2][3]. Оскільки фігура сталої ширини   задовольняє умові цієї теореми для  , а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати  .[4]

Варіації та узагальненняРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 2012-02-04. Процитовано 2011-12-20. 
  2. [E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Т. 5. — С. 273—286.
  3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Т. 55 (6). — С. 501-524.
  4. Bogomolny A. Math Surprises: An Example. Cut The Knot (англійською). Архів оригіналу за 2012-02-04. Процитовано 2011-12-20. 

ЛітератураРедагувати