У функціональному аналізі та пов'язаних галузях математики стереотипні простори є класом топологічних векторних просторів , що виділяється деякою спеціальною умовою рефлексивності. Цей клас має серією чудових властивостей, зокрема, він досить широкий (наприклад, містить всі простори Фреше , і тому все банахові простори), він складається з просторів, підпорядкованих певній умові повноти, і утворює замкнуту моноїдальную категорію зі стандартними аналітичними засобами побудови нових просторів, такими як перехід до замкнутого підпростору, фактор-простором , проєктивній і ін'єктивній границі, простору операторів, тензорним добуткам тощо.
Категорія стереотипних просторів
ред.
Клас Ste стереотипних просторів утворює категорію з лінійними неперервними відображеннями в якості морфізмів і має такі властивості:[1] [2]
Ste — предабелева категорія;Ste — повна і коповна категорія;Ste — автодуальна категорія відносно функтора
X
↦
X
⋆
{\displaystyle X\mapsto X^{\star }}
Ste — категорія з вузловим розкладом : будь-який морфізм
φ
:
X
→
Y
{\displaystyle \varphi :X\to Y}
φ
=
σ
∘
β
∘
π
{\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }
π
{\displaystyle \pi }
епіморфізм ,
β
{\displaystyle \beta }
біморфізм , а
σ
{\displaystyle \sigma }
мономорфізм .Для будь-яких двох стереотипних просторів
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
стереотипний простір операторів
Y
⊘
X
{\displaystyle Y\oslash X}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
L
(
X
,
Y
)
{\displaystyle {\text{L}}(X,Y)}
φ
:
X
→
Y
{\displaystyle \varphi :X\to Y}
Y
⊘
X
{\displaystyle Y\oslash X}
Ste :
X
⊛
Y
:=
(
Y
⋆
⊘
X
)
⋆
,
{\displaystyle X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },}
X
⊙
Y
:=
Y
⊘
X
⋆
.
{\displaystyle X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.}
Теорема. В категорії Ste виконуються наступні природні тотожності:[1] [3]
C
⊛
X
≅
X
≅
X
⊛
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,}
C
⊙
X
≅
X
≅
X
⊙
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,}
X
⊛
Y
≅
Y
⊛
X
,
{\displaystyle X\circledast Y\cong Y\circledast X,}
X
⊙
Y
≅
Y
⊙
X
,
{\displaystyle X\odot Y\cong Y\odot X,}
(
X
⊛
Y
)
⊛
Z
≅
X
⊛
(
Y
⊛
Z
)
,
{\displaystyle (X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),}
(
X
⊙
Y
)
⊙
Z
≅
X
⊙
(
Y
⊙
Z
)
,
{\displaystyle (X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),}
(
X
⊛
Y
)
⋆
≅
Y
⋆
⊙
X
⋆
,
{\displaystyle (X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },}
(
X
⊙
Y
)
⋆
≅
Y
⋆
⊛
X
⋆
,
{\displaystyle (X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },}
X
⊘
Y
≅
Y
⋆
⊘
X
⋆
,
{\displaystyle X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },}
X
⊘
(
Y
⊛
Z
)
≅
(
X
⊘
Y
)
⊘
Z
,
{\displaystyle X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,}
(
X
⊙
Y
)
⊘
Z
≅
X
⊙
(
Y
⊘
Z
)
{\displaystyle (X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)}
Зокрема, Ste — симетрична моноїдальна категорія щодо біфунктора
⊙
{\displaystyle \odot }
замкнута моноїдальна категорія щодо біфунктора
⊛
{\displaystyle \circledast }
⊘
{\displaystyle \oslash }
*-автономна категорія [en]
X
⋆
⊘
(
Y
⊛
Z
)
≅
(
X
⊛
Y
)
⋆
⊘
Z
,
{\displaystyle X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,}
Ядро і коядро в категорії Ste
ред.
Оскільки Ste — предабелева категорія, всякий морфізм
φ
:
X
→
Y
{\displaystyle \varphi :X\to Y}
ядро , коядро, образ і кообраз.
Ці об'єкти задовольняють наступним природним тотожностям:[1]
(
ker
φ
)
⋆
=
coker
(
φ
⋆
)
,
(
coker
φ
)
⋆
=
ker
(
φ
⋆
)
,
{\displaystyle ({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi )^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),}
(
im
φ
)
⋆
=
coim
(
φ
⋆
)
,
(
coim
φ
)
⋆
=
im
(
φ
⋆
)
,
{\displaystyle ({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi )^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),}
(
Ker
φ
)
⊥
△
=
Im
(
φ
⋆
)
,
(
Im
φ
)
⊥
△
=
Ker
(
φ
⋆
)
,
{\displaystyle ({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),}
Ker
φ
=
(
Im
(
φ
⋆
)
)
⊥
△
,
Im
φ
=
(
Ker
(
φ
⋆
)
)
⊥
△
.
{\displaystyle {\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.}
Прямі та зворотні границі в категорії Ste
ред.
Справедливі наступні природні тотожності:[1] [3]
(
⨁
i
∈
I
X
i
)
⋆
≅
∏
i
∈
I
X
i
⋆
{\displaystyle {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }}
(
∏
i
∈
I
X
i
)
⋆
≅
⨁
i
∈
I
X
i
⋆
{\displaystyle {\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }}
Y
⊘
(
⨁
i
∈
I
X
i
)
≅
∏
i
∈
I
(
Y
⊘
X
i
)
{\displaystyle Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})}
(
∏
j
∈
J
Y
j
)
⊘
X
≅
∏
j
∈
J
(
Y
j
⊘
X
)
{\displaystyle {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)}
(
⨁
i
∈
I
X
i
)
⊛
(
⨁
j
∈
J
Y
j
)
≅
⨁
i
∈
I
,
j
∈
J
(
X
i
⊛
Y
j
)
{\displaystyle {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})}
(
∏
i
∈
I
X
i
)
⊙
(
∏
j
∈
J
Y
j
)
≅
∏
i
∈
I
,
j
∈
J
(
X
i
⊙
Y
j
)
{\displaystyle {\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})}
(
lim
i
→
∞
X
i
)
⋆
≅
lim
∞
←
i
X
i
⋆
{\displaystyle {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{\star }}
(
lim
∞
←
i
X
i
)
⋆
≅
lim
i
→
∞
X
i
⋆
{\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{\star }}
Y
⊘
(
lim
i
→
∞
X
i
)
≅
lim
∞
←
i
(
Y
⊘
X
i
)
{\displaystyle Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i})}
(
lim
∞
←
j
Y
j
)
⊘
X
≅
lim
∞
←
j
(
Y
j
⊘
X
)
{\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X)}
(
lim
i
→
∞
X
i
)
⊛
(
lim
j
→
∞
Y
j
)
≅
lim
i
,
j
→
∞
(
X
i
⊛
Y
j
)
{\displaystyle {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})}
(
lim
∞
←
i
X
i
)
⊙
(
lim
∞
←
j
Y
j
)
≅
lim
∞
←
i
,
j
(
X
i
⊙
Y
j
)
{\displaystyle {\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})}
(тут
lim
i
→
∞
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }}
пряма границя а
lim
∞
←
i
{\displaystyle \lim _{\infty \gets i}}
обернена границя в категорії Ste ).
Перетворення Гротендика
ред.
Якщо
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
(
x
⊛
y
)
(
φ
)
=
φ
(
y
)
(
x
)
,
φ
∈
X
⋆
⊘
Y
{\displaystyle (x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y}
визначає елементарний тензор
x
⊛
y
∈
X
⊛
Y
=
(
X
⋆
⊘
Y
)
⋆
{\displaystyle x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }}
(
x
⊙
y
)
(
f
)
=
f
(
x
)
⋅
y
,
f
∈
X
⋆
{\displaystyle (x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }}
елементарний тензор
x
⊙
y
∈
X
⊙
Y
=
Y
⊘
X
⋆
{\displaystyle x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }}
Теорема. [1] Для будь-яких стереотипних просторів
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Γ
X
,
Y
:
X
⊛
Y
→
X
⊙
Y
{\displaystyle \Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y}
x
⊛
y
{\displaystyle x\circledast y}
x
⊙
y
{\displaystyle x\odot y}
Γ
X
,
Y
(
x
⊛
y
)
=
x
⊙
y
,
x
∈
X
,
y
∈
Y
.
{\displaystyle \Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.}
Сімейство відображень
Γ
X
,
Y
:
X
⊛
Y
→
X
⊙
Y
{\displaystyle \Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y}
⊛
{\displaystyle \circledast }
⊙
{\displaystyle \odot }
.Відображення
Γ
X
,
Y
{\displaystyle \Gamma _{X,Y}}
перетворенням Гротендика .
Примітки
ред.
Шефер, Х. (1971). Топологические векторные пространства . Москва: Мир. Робертсон А.П., Робертсон, В.Дж. (1967). Топологические векторные пространства . Москва: Мир. Smith, M.F. (1952). [https://www.jstor.org/stable/1969798 The Pontrjagin duality theorem in linear spaces] . Annals of Mathematics . 56 (2): 248—253. Brudovski, B.S. (1967). On k- and c-reflexivity of locally convex vector spaces. Lithuanian Mathematical Journal . 7 (1): 17—21. Waterhouse, W.C. (1968). Dual groups of vector spaces . Pac. J. Math . 26 (1): 193—196. Brauner, K. (1973). Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem. Duke Math. Jour . 40 (4): 845—855. Акбаров, С.С. (1995). Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств . Математические заметки . 57 (3): 463—466. doi :10.1007/BF02303980 . Akbarov, S.S. (2003). Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra . Journal of Mathematical Sciences . 113 (2): 179—349. Акбаров, С.С. (2008). Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы (PDF) . Фундаментальная и прикладная математика . 14 (1): 3—178. arXiv :0806.3205 Akbarov, S.S. (2016). Envelopes and refinements in categories, with applications to functional analysis . Dissertationes Mathematicae . 513 : 1—188. arXiv :1110.2013 Akbarov, S.S.; Shavgulidze, E.T. (2003). On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin. Mat. Sbornik . 194 (10): 3—26. Акбаров, С.С. (2017). Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1 . Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз . 129 : 3—133. arXiv :1303.2424v10 doi :10.1007/s10958-017-3599-6 . Акбаров, С.С. (2017). Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2 . Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз . 130 : 3—112. arXiv :1303.2424v10 doi :10.1007/s10958-017-3600-4 . Kuznetsova, J. (2013). A duality for Moore groups . Journal of Operator Theory . 69 (2): 101—130. Akbarov, S.S. (2005). Pontryagin duality and topological algebras . Banach Center Publications . 67 : 55—71. Szankowski, A. (1981). B(H) does not have the approximation property. Act. Math . 147 : 147:89-108. 
