Стаціонарний розподіл

Стаціонарний розподіл ланцюга Маркова — розподіл імовірності, який не змінюється з часом.

Визначення

Нехай $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом, зліченним простором станів $\{1,2,\ldots \}$, та матрицею перехідних імовірностей $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$. Тоді дискретний розподіл $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots )$ називають стаціонарним (інваріантним), якщо

$\mathbf {q} P=\mathbf {q}$ .

Зауваження

Якщо $\mathbf {q}$ — початковий розподіл ланцюга $\{X_{n}\}$, тобто

$\mathbb {P} (X_{0}=i)=q_{i},\quad i\in \mathbb {N}$ ,

те й розподіл решти членів $X_{n},n\geq 1$ також збігається з $\mathbf {q}$.

Основна теорема про стаціонарні розподіли

Нехай $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів. Тоді в цьому ланцюзі існує єдиний стаціонарний розподіл тоді й лише тоді, коли у множині його станів є рівно один додатно зворотний клас.

Див. також

• Ергодичний розподіл