Хвильове рівняння акустики

У фізиці, в хвильове рівняння акустики описує поширення акустичної хвилі через матеріальне середовище, яке є диференціальним рівнянням другого роду з частинними похідними.  Рівняння описує еволюцію акустичного тиску $p$ або швидкості u як функції, яка залежить від координат х і часу $t$. Спрощена форма рівняння описує акустичні хвилі тільки в одному просторовому вимірі, в той час як більш загальна форма описує хвилі в трьох вимірах.

Хвильове рівняння акустики був важливою точкою відліку у розвитку електромагнітного хвильового рівняння у Кельвінському майстер-класі в університеті Джонса Хопкінса.

Одновимірний випадок

Рівняння

Річард Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в справу в речовині в одному вимірі  як:

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

де $p$ — акустичний тиск і $c$— швидкість звуку.

Розв'язування

За умови, що швидкість $c$ є константою, яка не залежить від частоти (бездисперсійний випадок), то найбільш загальний розв'язок має вигляд

$p=f(ct-x)+g(ct+x)$

де $f$ і $g$ — будь-які двічі диференційовані функції. Це може бути зображено як суперпозицію двох хвиль довільного профілю, одна ($f$) пересуваються вгору по осі x, а інша ($g$) вниз по осі x зі швидкістю $c$. У частинному випадку синусоїдальної хвилі, яка рухається в одному напрямку, одна з цих функцій є синусоїдою, а інша рівна нулю, що дає нам такий розв'язок:

$p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)$.

де $\omega$ — кутова частота хвилі, а $k$ — її хвильове число.

Отримання

Хвильове рівняння можуть бути отримано на основі лінеаризованого одновимірного рівняння неперервності, лінеаризованого одновимірного рівняння сил і рівняння стану.

Рівняння стану (рівняння стану ідеального газу)

$PV=nRT$

В адіабатичному процесі, тиск Р як функція від густини $\rho$ може бути лінеаризована до

$P=C\rho \,$

де C — деяка константа. Розбиваючи тиск і густину на їхні середні і загальні компоненти і вважаючи, що $C={\frac {\partial P}{\partial \rho }}$:, отримаємо:

$P-P_{0}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)(\rho -\rho _{0})$.

Адіабатичний об'ємний модуль для рідини визначається як

$B=\rho _{0}\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{adiabatic}$

який дає результат

$P-P_{0}=B{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$.

Ущільнення, s, визначається як зміна густини для даної рідини.

$s={\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho _{0}}}$

Лінеаризоване рівняння стану набуває вигляду

$p=Bs\,$ де p - це звуковий тиск ($P-P_{0}$).

Рівняння неперервності (збереження маси) в одному вимірі має вигляд

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0$.

Тут u — це швидкість потоку рідини. Рівняння знову повинно бути лінеаризоване і змінні поділені на їх середнє та змінні складові.

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho _{0}s)+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho _{0}u+\rho _{0}su)=0$

Перегруповуючи і зазначивши, що зміна густини навколишнього середовища не залежить від часу і положення, що ущільнення, помножене на швидкість — дуже мале число, отримаємо:

${\frac {\partial s}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}u=0$

Рівняння сили Ейлера (збереження імпульсу) є останнім з необхідних компонентів. В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

$\rho {\frac {Du}{Dt}}+{\frac {\partial P}{\partial x}}=0$,

де $D/Dt$ являє собою конвективною похідною, яка є похідною в точці, яка рухається зі середовищем.

Лінеаризація змінних:

$(\rho _{0}+\rho _{0}s)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+u{\frac {\partial }{\partial x}}\right)u+{\frac {\partial }{\partial x}}(P_{0}+p)=0$.

Перегруповуючи і нехтуючи малими членами, результуюче рівняння стане лінеаризованим одновимірним рівнянням Ейлера:

$\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}=0$.

Взявши похідну за часом в рівнянні неперервності і просторову похідну в рівнянні сили, отримаємо:

${\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}=0$

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$.

Домноживши перше на $\rho _{0}$, віднявши друге, і підставляючи в лінеаризоване рівняння стану, отримаємо

$-{\frac {\rho _{0}}{B}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}=0$.

Остаточний результат

${\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$,

де $c={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}}$ — швидкість поширення.

Трьохвимірний випадок

Рівняння

Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в речовині у трьох вимірах:

$\nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0$

де $\nabla ^{2}$ — оператор Лапласа, $p$ — акустичний тиск і $c$ — швидкість звуку.

Подібний вигляд хвильового рівняння, але для векторного поля швидкості частинок:

$\nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0$..

У деяких ситуаціях, це рівняння є більш зручне для розв'язку хвильового рівняння для абстрактного скалярного поля потенціалу швидкості, яке має вигляд

$\nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0$

з якого виводяться фізичні величини — швидкість частинок і акустичний тиск:

$\mathbf {u} =\nabla \Phi \;$,

$p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi$.

Розв'язування

Розв'язки знаходяться шляхом розділення змінних в різних системах координат. Вони є розв'язками комплексної амплітуди, тобто вони мають неявну часову залежність від фактора $e^{i\omega t}$, де $\omega =2\pi f$ — кутова частота. Явна залежність від часу має вигляд

$p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]$

Тут $k=\omega /c\$ — хвильове число.

Декартові координати

$p(r,k)=Ae^{\pm ikr}$.

Циліндричні координати

$p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)$.

Сферичні координати

$p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}$.

Джерела

1. Літинський Святослав Володимирович. Чисельне розв’язування мішаних задач для хвильового рівняння методом перетворення Лаґерра та граничних інтегральних рівнянь.