Фундаментальна матриця (лінійні диференціальні рівняння)

Фундаментальна матриця системи n однорідних звичайних диференціальних рівнянь

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$

це матрична функція $\Psi (t)$ чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи.

Тоді загальний розв'язок системи можна записати як $\mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c}$, де $\mathbf {c}$ вектор сталих.

Матрична функція $\Psi$ є фундаментальною матрицею для ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$ тоді і тільки тоді, коли

1. ${\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)$ і
2. $\Psi$ несингулярна для всіх $t$.

Нормалізована фундаментальна матриця

Унікальна матриця ${\tilde {\Psi _{t_{0}}(t)}}$, що задовольняє умові

${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}=A{\tilde {\Psi }}_{t_{0}},\ \ {\tilde {\Psi }}_{t_{0}}^{'}(t_{0})=\mathrm {I}$

називається нормалізована фундаментальна матриця в $t_{0}$ для $A.$

Оскільки змінна $t$ зазвичай позначає час, то зручно нормалізувати в точці $t_{0}=0,$ що дозволяє швидко знайти розв'язок для задача Коші із заданими в нульовий час умовами. Так якщо $\mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},$ то розв'язком буде ${\tilde {\Psi }}_{0}\mathbf {x} _{0}.$

Обчислити матрицю можна так ${\tilde {\Psi }}_{t_{0}}(t)=\Psi (t)\ \Psi (t_{0})^{-1}.$