Унітарний оператор

У функціональному аналізі унітарний оператор — це сюр’єктивний обмежений оператор на гільбертовому просторі, який зберігає внутрішній добуток. Унітарні оператори зазвичай вважаються як діючі на гільбертовому просторі, але таке ж поняття служить для визначення поняття ізоморфізму між гільбертовими просторами.

Унітарний елемент — це узагальнення унітарного оператора. Елемент $U$ унітарної алгебри називається унітарним елементом, якщо виконується рівність $U^{*}U=UU^{*}=I$, де $I$ — тотожний елемент.

Означення

Означення 1. Унітарний оператор — обмежений лінійний оператор $U\colon H\rightarrow H$ на гільбертовому просторі $H$, який задовольняє рівність $U^{*}U=UU^{*}=I$, де $U^{*}$ — спряжений оператор до оператора $U$, а $I\colon H\rightarrow H$ — тотожний оператор.

Слабша умова $U^{*}U=I$ визначає ізометрію. Інша умова, $UU^{*}=I$, визначає коізометрію. Таким чином, унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор, який одночасно є ізометрією і коізометрією або, що еквівалентно, сюр’єктивною ізометрією.

Еквівалентне означення є наступним:

Означення 2. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор $U\colon H\rightarrow H$ на гільбертовому просторі $H$, для якого виконується наступні умови:

• Оператор $U$ є сюр’єктивним.
• Оператор $U$ зберігає внутрішній добуток гільбертового простору $H$. Іншими словами, для всіх векторів $x$ i $y$ в просторі $H$ маємо

$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Поняття ізоморфізму в категорії гільбертових просторів фіксується, якщо в цьому означенні розрізняються область визначення й діапазону. Ізометрії зберігають послідовності Коші, а отже, зберігається властивість повноти гільбертових просторів.

Наступне, здавалося б слабкіше, означення також є еквівалентним:

Означення 3. Унітарний оператор — це обмежений лінійний оператор $U\colon H\rightarrow H$ на гільбертовому просторі $H$, для якого виконується наступні умови:

• Діапазон оператора $U$ є щільним у просторі $H$.
• Оператор $U$ зберігає внутрішній добуток гільбертового простору $H$. Іншими словами, для всіх векторів $x$ і $y$ в просторі $H$ маємо

$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Щоб переконатися, що означення 1 і 3 є еквівалентними, звернемо увагу, що з умови збереження внутрішнього добутку оператора $U$ випливає, що оператор $U$ є ізометрією (отже, він є обмеженим лінійним оператором). Той факт, що оператор $U$ має щільний діапазон, гарантує, що він має обмежений обернений оператор $U^{-1}$. Очевидно, що $U^{-1}=U^{*}$.

Таким чином, унітарні оператори є лише автоморфізмами гільбертових просторів, тобто вони зберігають структуру (у даному випадку лінійну структуру простору, внутрішній добуток, а отже, і топологію простору, на якому вони діють. Групу всіх унітарних операторів із даного гільбертового простору $H$ у себе іноді називають групою Гільберта простору $H$, позначають як $\operatorname {Hilb} (H)$ або ${\rm {U}}(H)$.

Приклади

• Тотожне відображення є тривіальним унітарним оператором.
• Повороти в просторі $\mathbb {R} ^{2}$ є найпростішим нетривіальним прикладом унітарних операторів. Повороти не змінюють довжину вектора або кут між двома векторами. Цей приклад можна розширити на випадок простору $\mathbb {R} ^{3}$.
• У векторному просторі комплексних чисел $\mathbb {C}$ множення на число з модулем $1$, тобто на число виду ${\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }$ для $\theta \in \mathbb {R}$, є унітарним оператором. Число $\theta$ називають фазою, а саме множення називають множенням на фазу. Зауважимо, що значення числа $\theta$ за модулем $2\pi$ не впливає на результат множення, і тому незалежні унітарні оператори на $\mathbb {C}$ параметризуються колом. Відповідна група, яка як множина є колом, називається ${\rm {U}}(1)$.
• У більш загальному випадку унітарні матриці є саме унітарними операторами на скінченновимірних гільбертових просторах, тому поняття унітарного оператора є узагальненням поняття унітарної матриці. Ортогональні матриці — це окремий випадок унітарних матриць, у яких усі елементи є дійсними. Вони є унітарними операторами на $\mathbb {R} ^{n}$.
• Двосторонній зсув на просторі послідовностей $\ell ^{2}$, що індексується цілими числами, є унітарним. У загальному випадку, будь-який оператор у гільбертовому просторі, який діє шляхом перестановки ортонормованого базису, є унітарним. У скінченномірному випадку такими операторами є матриці перестановок.
• Односторонній зсув (правий зсув) є ізометрією; її спряжена величина (лівий зсув) є коізометрією.
• Оператор Фур’є є унітарним оператором, тобто оператором, який виконує перетворення Фур’є (при належній нормалізації). Це випливає з теореми Парсеваля.
• Унітарні оператори використовуються в унітарних представленнях.
• Квантові вентилі є унітарними операторами. Не всі вентилі є ермітовими.

Лінійність

Вимога лінійності у означенні унітарного оператора можна відкинути без зміни сенсу, оскільки її можна отримати з лінійності та додатної визначеності скалярного добутку:

${\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0.\end{aligned}}$

Аналогічно можна отримати

$\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.$

Властивості

• Спектр унітарного оператора $U$ лежить на одиничному колі. Тобто для будь-якого комплексного числа $\lambda$ зі спектру маємо, що $|\lambda |=1$. Це можна розглядати як наслідок спектральної теореми для нормальних операторів. За теоремою оператор $U$ є унітарно еквівалентним множенню на вимірну за Борелем функцію $f$ з $L^{2}(\mu )$ для деякого простору з скінченною мірою $(X,\mu )$. Тоді з рівності $UU^{*}=I$ випливає, що $|f(x)|^{2}=1$, майже скрізь за мірою $\mu$. Це показує, що істотний діапазон функції $f$, а отже, спектр оператора $U$, лежить на одиничному колі.
• Лінійний оператор є унітарним тоді, коли він сюр’єктивний та ізометричний. (Використайте поляризаційну тотожність для доведеннячастини “й лише тоді”.)

Див. також

• Антиунітарний
• Зморщена дуга
• Квантовий вентиль — основна схема в квантових обчисленнях
• Унітарна матриця — комплексна матриця, спряжена транспонована матриця якої дорівнює її оберненій
• Унітарне перетворення — ендоморфізм, що зберігає внутрішній добуток
• Унітарна матриця
• Оператор (фізика)

Література

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
• Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.
• Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.