Тріангуляція (геометрія)

В геометрії, тріангуляція в найзагальнішому значенні — це розбиття геометричного об'єкта на симплекси. Наприклад, на площині це розбиття на трикутники, звідки й назва. Тріангуляція тривимірного об'єкта містить розбиття на тетраедри («піраміди» разноманітних форм та розмірів), що мають спільні елементи.

Різні розділи геометрії використовують дещо відміні визначення цього терміну.

Тріангуляція T простору $\mathbb {R} ^{n+1}$ — це підрозбиття $\mathbb {R} ^{n+1}$ на (n + 1)-вимірні симплекс такі що:

1. будь-які два симплекси в T перетинаються в спільній грані ребру чи вершині, або взагалі не перетинаються;
2. будь-яка обмежена множина в $\mathbb {R} ^{n+1}$ перетинає скінченну кількість симплексів з T.

• Тріангуляція множини точок, тобто, тріангуляція дискретної множини точок $P\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ — це розбиття опуклої оболонки точок на симплекси так, що виконується перша умова з попереднього означення та множина точок, що є вершинами симплексів розбиття збігається з $P$. Тріангуляція Делоне є найвідомішим видом тріангуляції множини точок.

• Тріангуляція многокутника — це розбиття многокутника на трикутники, що мають спільні ребра з умовою, що множина вершин трикутників збігається з множиною вершин многокутника. Тріангуляція многокутників є основою багатьох важливих геометричних алгоритмів, наприклад просте рішення задачі галереї мистецтв. Гранична тріангуляція Делоне — це адаптація тріангуляції Делоне від множин точок до многокутників, у загальнішому — до планарних графів.

• Тріангуляція поверхні — це мережа трикутників, яка покриває задану поверхню частково чи повністю.

• У методі скінченних елементів тріангуляція використовується як сітка, що є основою для подальших обчислень. В такому разі, трикутники повинні утворювати множину в області визначення функції. Для того щоб бути придатними для обчислення, тріангуляція має мати у кожному випадку різні типи трикутників, що залежать від критеріїв звичайно-елементного моделювання. Наприклад, деякі методі потребують гострокутні чи прямокутні трикутники, що формують сітку без тупих кутів. Відомі багато методів з використанням ґраток, що містять уточнення Делоне, наприклад другий алгоритм Чу та алгоритм Руперта.

• В більш загальних топологічних просторах, тріангуляція — це розбиття на простіші комплекси, що гомеоморфні простору.

Узагальнення

Концепція тріангуляції також може бути узагальнена як розбиття на форми, пов'язані з трикутниками. Псевдотріангуляція множини точок — це розбиття опуклої оболонки точок на псевдотрикутники, багатокутники, що як і трикутники мають рівно три опуклі вершини. Як і множина вершин тріангуляції, множина вершин псевдотріангуляції зобов'язана мати точки на заданих точках входу.

Див. також

• Псевдотріангуляція
• Симпліційний комплекс
• Тріангуляція Делоне
• Тріангуляція многокутника

Джерела

• Weisstein, Eric W. Simplicial complex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Triangulation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.