Точкова оцінка

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції.

Визначення

Нехай $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра $\theta \in \Theta$. Тоді статистику ${\hat {\theta }}(X_{1},\ldots ,X_{n})$, що набуває значення в $\displaystyle \Theta$, називають точковою оцінкою параметра $\theta$.

Властивості точкових оцінок

• Оцінка ${\hat {\theta }}={\hat {\theta }}(X)$ називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює параметру генеральної сукупності, що оцінюється:

$\mathbb {E} _{\theta }\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta$,

де $\mathbb {E} _{\theta }$ позначає математичне сподівання за припущення, що $\theta$ — істинне значення параметра (розподілу вибірки $X$).

• Оцінка ${\hat {\theta }}$ називається ефективною, якщо вона має мінімальну дисперсію серед всіх можливих незміщених точкових оцінок.
• Оцінка ${\hat {\theta }}_{n}={\hat {\theta }}_{n}(X_{1},\dots ,X_{n})$ називається конзистентною, якщо вона за ймовірністю зі збільшенням обсягу вибірки $n$ прямує до параметра генеральної сукупності: $\forall \theta \in \Theta$,

${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$ за ймовірністю при $n\to \infty$.

• Оцінка ${\hat {\theta }}_{n}$ називається строго конзистентною, якщо $\forall \theta \in \Theta$,

${\hat {\theta }}_{n}\to \theta$ майже напевне при $n\to \infty$.