Теорія лінійних стаціонарних систем

Тео́рія ліні́йних стаціона́рних систе́м — розділ теорії динамічних систем, що вивчає поведінку і динамічні властивості лінійних стаціонарних систем (ЛСС). Використовується для вивчення процесів керування технічними системами, для цифрової обробки сигналів і в інших галузях науки і техніки.

Огляд

Визначальними властивостями будь-якої лінійної стаціонарної системи є лінійність і стаціонарність:

• Лінійність означає лінійний зв'язок між входом і виходом системи.

Формально, лінійною називається система, що має таку властивість:

якщо сигнал на вході системи можна подати зваженою сумою впливів (наприклад, двох) — :: $x(t)=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

то сигнал на виході системи є також зваженою сумою реакцій на кожен із впливів — :: $y(t)=Ay_{1}(t)+By_{2}(t)$

для будь-яких сталих A і B.

• Стаціонарність — означає, що вихідний сигнал системи як реакція на будь-який заданий вхідний сигнал однаковий для будь-якого моменту прикладення вхідного сигналу (з точністю до часу запізнювання моменту прикладення вхідного сигналу). У вужчому сенсі — при запізненні вхідного сигналу за часом на деяку величину, вихідний сигнал буде запізнюватися на ту ж саму величину.

Динаміку системи, що має перераховані вище властивості, можна описати однією простою функцією, наприклад, імпульсною перехідною функцією. Вихід системи можна розрахувати як згортку вхідного сигналу з імпульсною перехідною функцією системи. Цей метод аналізу іноді називають аналізом у часовій області. Сказане справедливе і для дискретних систем.

Зв'язок між часовою і частотною областями

Крім того, будь-яку ЛСС можна описати в частотній області за допомогою її передавальної функції, яка є перетворенням Лапласа імпульсної перехідної функції (або Z-перетворенням у разі дискретних систем). У силу властивостей цих перетворень, вихід системи в частотній області дорівнюватиме добутку передавальної функції і відповідного перетворення вхідного сигналу. Іншими словами, згортці в часовій області відповідає множення в частотній області.

Для всіх ЛСС власні функції є комплексними експонентами. Тобто, якщо вхід системи є комплексним сигналом $A\exp({st})$ з деякою комплексною амплітудою $A$ і частотою $s$, то вихід дорівнюватиме деякому сигналу $B\exp({st})$ з комплексною амплітудою $B$. Відношення $B/A$ буде передавальною функцією системи на частоті $s$.

Оскільки синусоїда є сумою комплексних експонент з комплексно-спряженими частотами, якщо вхід системи — синусоїда, то виходом системи буде також синусоїда, в загальному випадку з іншого амплітудою і фазою, але з тією ж частотою.

Теорія ЛСС добре підходить для опису багатьох систем. Більшість ЛСС значно простіше аналізувати, ніж нестаціонарні і нелінійні системи. Будь-яка система, динаміка якої описується лінійним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами, є лінійною стаціонарною системою. Прикладами таких систем є електричні схеми, зібрані з резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності (RLC-ланцюжки). Вантаж на пружині також можна вважати ЛСС.

Більшість загальних концепцій ЛСС схожі як у разі неперервних систем, так і в разі дискретних систем.

Стаціонарність і лінійні перетворення

Розглянемо нестаціонарну систему, чия імпульсна характеристика є функцією двох змінних. Подивимося, як властивість стаціонарності допоможе нам позбутися від одного виміру. Наприклад, нехай вхідний сигнал — $x(t)$, де аргумент — числа дійсної осі, тобто $t\in \mathbb {R}$. Лінійний оператор ${\mathcal {H}}$ показує, як система відпрацьовує цей вхідний сигнал. Відповідний оператор для деякого набору аргументів є функцією двох змінних:

$h(t_{1},t_{2}){\mbox{, }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} .$

Для дискретної системи:

$h[n_{1},n_{2}]{\mbox{, }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} .$

Оскільки ${\mathcal {H}}$ — лінійний оператор, вплив системи на вхідний сигнал $x(t)$ подається лінійним перетворенням, описуваним таким інтегралом (інтеграл суперпозиції)

$y(t_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t_{1},t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}.$

Якщо лінійний оператор ${\mathcal {H}}$ до всього іншого є і стаціонарним, тоді

$h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )\qquad \forall \,\tau \in \mathbb {R} .$

Поклавши

$\tau =-t_{2},$

отримаємо:

$h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).$

Для стислості запису другий аргумент в $h(t_{1},t_{2})$ зазвичай опускають і інтеграл суперпозиції стає інтегралом згортки:

$y(t_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t_{1}-t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}=(h*x)(t_{1}).$

Таким чином, інтеграл згортки показує як лінійна стаціонарна система відпрацьовує будь-який вхідний сигнал. Отримане співвідношення для дискретних систем:

$y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}].$

Імпульсна перехідна функція

Якщо до входу системи прикласти вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дірака, кінцевий вихідний сигнал ЛСС являтиме собою імпульсну перехідну функцію системи. Запис:

$(h*\delta )(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,\delta (\tau )\,d\tau =h(t),$

Для дискретної системи:

$x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m].$

(через властивості зсуву дельта-функції).

Зауважимо, що:

$h(t)=h(t,0)\ ({\mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})$

тобто $h(t)$ — імпульсна перехідна функція системи.

Імпульсна перехідна функція використовується для того, щоб знайти вихідний сигнал системи як реакцію на будь-який вхідний сигнал. Крім того, будь-який вхід можна подати у вигляді суперпозиції дельта-функцій:

$x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$

Приклавши до входу системи, отримаємо:

${\mathcal {H}}x(t)={\mathcal {H}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau$ (оскільки ${\mathcal {H}}$ лінійна)

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau ){\mathcal {H}}\delta (t-\tau )\,d\tau$ (оскільки $x(\tau )$ стала за t і ${\mathcal {H}}$ лінійна)

$\quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau$ (за визначенням $h(t)$)

В імпульсній перехідній функції $h(t)$ міститься вся інформація про динаміку ЛСС.

Власні функції

Власна функція — функція, для якої вихід оператора являє собою ту ж функцію, в загальному випадку з точністю до сталого множника. Запис:

${\mathcal {H}}f=\lambda f$ ,

де f — власна функція, і $\lambda$ — власне число, стала.

Експоненти $e^{st}$, де $s\in \mathbb {C}$ є власними функціями лінійного стаціонарного оператора.

Доведення

Нехай вхідний сигнал системи $x(t)=e^{st}$. Тоді вихідний сигнал системи $h(t)$ дорівнює:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )e^{s\tau }d\tau$

що еквівалентно такому виразу в силу комутативності згортки:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{s(t-\tau )}\,d\tau$

$\quad =e^{st}\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,d\tau$

$\quad =e^{st}H(s)$ ,

де

$H(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt$

залежить тільки від s.

Таким чином, $e^{st}$ — власна функція ЛСС.

Перетворення Лапласа і Фур'є

$H(s)={\mathcal {L}}\{h(t)\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt$

є точним способом отримати власні числа з імпульсної перехідної функції. Особливий інтерес становлять чисті синусоїди, тобто експоненти вигляду $\exp({j\omega t})$ де $\omega \in \mathbb {R}$ і $j$ — уявна одиниця. Їх зазвичай називають комплексними експонентами, навіть якщо аргумент не має дійсної частини. Перетворення Фур'є $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ дає власні числа для чисто комплексних синусоїд. $H(s)$ називається передавальною функцією системи, іноді в літературі цей термін застосовують і до $H(j\omega )$.

Перетворення Лапласа зазвичай використовують для односторонніх сигналів, тобто за нульових початкових умов. Початковий момент часу без втрати загальності приймається за нуль, а перетворення береться від нуля до нескінченності (перетворення, яке виходить при інтегруванні також і до мінус нескінченності, називається двостороннім перетворенням Лапласа).

Перетворення Фур'є використовується для аналізу систем, через які проходять періодичні сигнали, і в багатьох інших випадках — наприклад, для аналізу системи на стійкість.

Через властивості згортки для обох перетворень мають виконуються співвідношення:

$y(t)=(h*x)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )d\tau$

$\quad ={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Для дискретних систем:

$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]$

$\quad ={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(s)X(s)\}$

Деякі властивості

Деякі з важливих властивостей будь-якої системи — причинність і стійкість. Для того, щоб система існувала в реальному світі, має виконуватися принцип причинності. Нестійкі системи можуть бути побудованими і іноді навіть бути корисними.

Причинність

Система називається причинною, якщо її вихід залежить тільки від поточного або попереднього прикладеного впливу. Необхідна і достатня умова причинності:

$h(t)=0\quad \forall t<0,$

Для дискретних систем:

$h[n]=0\ \forall n<0,$

де $h(t)$ — імпульсна перехідна функція. У явному вигляді визначити причинна система чи ні з її перетворення Лапласа в загальному випадку неможливо, оскільки зворотне перетворення Лапласа не є унікальним. Причинність можна визначити, коли задано область збіжності.

Стійкість

Система є стійкою за обмеженим входом, обмеженим виходом (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) якщо для кожного обмеженого входу вихідний сигнал є скінченним. Запис: Якщо

$||x(t)||_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{p}dt\right)^{1/p}<\infty$

і

$||y(t)||_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }|y(t)|^{p}dt\right)^{1/p}<\infty$

(тобто, максимуми абсолютних значень $x(t)$ і $y(t)$ скінченні), то система стійка. Необхідна і достатня умова стійкості: імпульсна перехідна характеристика системи, $h(t)$, має задовольняти виразу

$||h(t)||_{1}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty .$

Для дискретних систем:

$||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$

У частотній області область збіжності має містити уявну вісь $s=j\omega$.

Див. також

• АФЧХ
• ЛАФЧХ
• Системний аналіз
• Передавальна функція
• Функція Гріна
• Нелінійне керування

Посилання

• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
• P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
• В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения. — Л. : ЛГУ, 1980.