У теорії міри Теоремою Фубіні , Теоремою Тонеллі , Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.
Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.
Формулювання
ред.
Теорема Фубіні
ред.
Нехай
(
X
,
F
1
,
μ
1
)
,
(
Y
,
F
2
,
μ
2
)
{\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mu _{1}),\;(Y,\;{\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{2})}
простори з сигма-скінченною мірою , а
(
X
×
Y
,
F
1
⊗
F
2
,
μ
1
⊗
μ
2
)
{\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}
добуток мір . Нехай функція
f
:
X
×
Y
→
R
{\displaystyle f\colon X\times Y\to \mathbb {R} }
μ
1
⊗
μ
2
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}
вимірна і також
∫
X
×
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
<
∞
{\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty }
функція
x
→
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle x\to \int \limits _{Y}f(x,\;y)\,{\text{d}}y}
майже скрізь і інтегровна щодо
μ
1
{\displaystyle \mu _{1}}
функція
y
→
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle y\to \int \limits _{X}f(x,\;y)\,{\text{d}}x}
μ
2
{\displaystyle \mu _{2}}
і також виконуються рівності
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Теорема Тонеллі
ред.
Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція
f
:
X
×
Y
→
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]}
функція
x
→
∫
X
2
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle x\to \int \limits _{X_{2}}f(x,\;y)\,{\text{d}}y}
μ
1
{\displaystyle \mu _{1}}
функція
x
→
∫
X
1
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle x\to \int \limits _{X_{1}}f(x,\;y)\,{\text{d}}x}
μ
2
{\displaystyle \mu _{2}}
і також виконуються рівності
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Теорема Тонеллі — Фубіні
ред.
Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.
Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція
f
:
X
×
Y
→
R
{\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }
∫
X
(
∫
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
y
)
d
x
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x}
∫
Y
(
∫
X
|
f
(
x
,
y
)
|
d
x
)
d
y
{\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}
∫
X
×
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}
є скінченним.
Тоді
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
Формулювання в теорії ймовірностей
ред.
В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так.
Нехай
(
Ω
i
,
F
i
,
P
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}
ймовірнісні простори , і
X
:
Ω
1
×
Ω
2
→
R
{\displaystyle X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R} }
випадкова величина на
(
Ω
1
×
Ω
2
,
F
1
⊗
F
2
,
P
1
⊗
P
2
)
{\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}
E
P
1
⊗
P
2
[
X
]
=
E
P
1
[
E
P
2
[
X
]
]
=
E
P
2
[
E
P
1
[
X
]
]
,
{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}
де індекс позначає ймовірнісну міру , щодо якої береться математичне очікування .
Доведення теореми Фубіні
ред.
Нижче наведено доведення рівності
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)}
Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на
(
X
×
Y
,
F
1
⊗
F
2
,
μ
1
⊗
μ
2
)
{\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}
E
⊂
X
×
Y
{\displaystyle E\subset X\times Y}
проста функція
1
E
{\displaystyle \mathbf {1} _{E}}
(
1
E
)
x
=
1
E
x
,
∀
x
∈
X
,
{\displaystyle (\mathbf {1} _{E})_{x}=\mathbf {1} _{E_{x}},\;\forall x\in X,}
де
E
x
=
{
y
∈
Y
∣
(
x
,
y
)
∈
E
)
}
{\displaystyle E_{x}=\{y\in Y\mid (x,\;y)\in E)\}}
E
{\displaystyle E}
x
∈
Y
{\displaystyle x\in Y}
g визначеної на
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
(
g
)
x
,
x
∈
X
{\displaystyle (g)_{x},x\in X}
Y , як
(
g
)
x
(
y
)
=
g
(
x
,
y
)
,
∀
y
∈
Y
.
{\displaystyle (g)_{x}(y)=g(x,y),\;\forall y\in Y.}
З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:
∫
X
×
Y
1
E
d
(
x
,
y
)
=
μ
1
⊗
μ
2
(
E
)
=
∫
X
μ
2
(
E
x
)
d
x
=
∫
X
(
∫
Y
1
E
x
d
y
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{X\times Y}\mathbf {1} _{E}\,{\text{d}}(x,y)=\mu _{1}\otimes \mu _{2}(E)=\int \limits _{X}\mu _{2}(E_{x})\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}\mathbf {1} _{E_{x}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}
Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.
Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
поточково збігаються до f. Для довільного
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
послідовність
(
f
x
)
n
{\displaystyle (f_{x})_{n}}
f
x
.
{\displaystyle f_{x}.}
теореми Леві про монотонну збіжність:
lim
n
→
∞
∫
X
×
Y
f
n
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}
Також зважаючи, що функції
(
f
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
∫
X
×
Y
f
n
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
=
∫
X
(
∫
Y
(
f
x
)
n
(
y
)
d
y
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}
Послідовність функцій
x
→
∫
Y
(
f
x
)
n
(
y
)
d
y
{\displaystyle x\to \int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y}
F
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}
теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна
∫
Y
f
x
(
y
)
d
y
{\displaystyle \int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y}
F
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}
теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:
lim
n
→
∞
∫
X
(
∫
Y
(
f
x
)
n
(
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
X
(
∫
Y
f
x
(
y
)
d
y
)
d
x
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x,}
яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.
Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як
f
=
f
+
−
f
−
,
{\displaystyle f=f_{+}-f_{-},}
f
+
,
f
−
{\displaystyle f_{+},f_{-}}
∫
X
×
Y
f
+
d
(
x
,
y
)
<
∞
{\displaystyle \int _{X\times Y}f_{+}\,{\text{d}}(x,y)<\infty }
∫
X
×
Y
f
−
d
(
x
,
y
)
<
∞
.
{\displaystyle \int _{X\times Y}f_{-}\,{\text{d}}(x,y)<\infty .}
Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.
Математичний аналіз
ред.
Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.
У найпростішому випадку твердження можна подати так.
Нехай
f
:
D
=
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }
інтегровна за Ріманом на прямокутнику
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}
f
∈
R
(
D
)
{\displaystyle f\in \mathbb {R} (D)}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
]
d
x
=
∫
c
d
[
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
]
d
y
,
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}
де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.
Доведення
ред.
Будь-яке розбиття
λ
{\displaystyle \lambda }
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}
λ
x
{\displaystyle \lambda _{x}}
X
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle X=[a,\;b]}
λ
y
{\displaystyle \lambda _{y}}
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,\;d]}
X
i
×
Y
j
{\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}
V
(
X
i
×
Y
j
)
=
|
X
i
|
⋅
|
Y
j
|
{\displaystyle V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|}
X
i
,
Y
j
{\displaystyle X_{i},Y_{j}}
Тоді можна дати оцінку для інтеграла
∫
X
d
x
[
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
]
(
∗
)
{\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right]\quad (*)}
і нижніх і верхніх інтегральних сум функції
L
(
f
,
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)}
U
(
f
,
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)}
L
(
f
,
λ
)
=
∑
i
,
j
inf
x
∈
X
i
,
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
V
(
X
i
×
Y
j
)
≤
∑
i
inf
x
∈
X
i
(
∑
i
inf
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
|
Y
j
|
)
|
X
i
|
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\inf \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}
∑
i
inf
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
|
X
i
|
≤
∫
X
d
x
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
≤
∑
i
sup
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
|
X
i
|
{\displaystyle \sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leq \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leq \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|}
U
(
f
,
λ
)
=
∑
i
,
j
sup
x
∈
X
i
,
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
V
(
X
i
×
Y
j
)
≥
∑
i
sup
x
∈
X
i
(
∑
i
sup
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
|
Y
j
|
)
|
X
i
|
{\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\sup \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}
f
{\displaystyle f}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
sup
λ
L
(
f
,
λ
)
=
inf
λ
U
(
f
,
λ
)
{\displaystyle \sup \limits _{\lambda }\,{\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)}
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
∬
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.}
Приклади необхідності умов теореми
ред.
Функції з нескінченним інтегралом
ред.
Розглянемо функцію
∫
[
0
,
1
]
2
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y).}
∫
[
0
,
1
]
2
|
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
|
d
(
x
,
y
)
=
+
∞
.
{\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\mathrm {d} (x,y)=+\infty .}
Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:
∫
0
1
[
∫
0
1
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
y
]
d
x
=
π
4
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}}
але
∫
0
1
[
∫
0
1
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
x
]
d
y
=
−
π
4
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}.}
Добуток не сигма-скінченних мір
ред.
Розглянемо добуток двох множин
I
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle I=[0,1]}
міру Лебега
λ
,
{\displaystyle \lambda ,}
лічильну міру
m
{\displaystyle m}
алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною .
Якщо позначити
Δ
=
{
(
x
,
x
)
∣
x
∈
[
0
,
1
]
}
⊂
I
2
{\displaystyle \scriptstyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^{2}}
характеристична функція 1 Δ є вимірною .
Для повторних інтегралів маємо :
∫
I
[
∫
I
1
Δ
(
x
,
y
)
d
y
]
d
x
=
∫
I
[
∫
I
1
{
x
}
(
y
)
d
y
]
d
x
=
∫
I
m
(
{
x
}
)
d
x
=
λ
(
I
)
=
1
{\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} x=\lambda (I)=1}
∫
I
[
∫
I
1
Δ
(
x
,
y
)
d
x
]
d
y
=
∫
I
[
∫
I
1
{
y
}
(
x
)
d
x
]
d
y
=
∫
I
λ
(
{
y
}
)
d
y
=
∫
I
0
d
y
=
0.
{\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} y=\int _{I}0~\mathrm {d} y=0.}
Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.
Див. також
ред.
Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика . — Київ : ВПЦ Київський університет , 2007. — 504 с.Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграл , К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7 Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1 
![{\displaystyle f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bc4e7ddc955ae5ce01522719c1d6a7bf9c6feb)
![{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c5414aea09c244b996453808add0e3ad5d0450)
![{\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c648d5013e87a339f037a0199ed25741b6a86b4e)
![{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea0b8f1390a754fd02e8123ffb7f3c44b9993c8)
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c51c144382bd428a1d82af4b83222f035ffd54)
![{\displaystyle X=[a,\;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0376e0080980f0987c4534611ccccf8116f9710f)
![{\displaystyle [c,\;d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eef5081f39687e139249c6f243c160e4e1dc80)
![{\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right]\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0d5335c8694d40dc12a8654081484a62b34191)
![{\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc66dcc94ea71a66efaa2ed9daa7fd3efaa977e1)
![{\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\mathrm {d} (x,y)=+\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd410488c5028b92120229c98e171b293c1342e)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc83b9320c691644e40ef194857b04e4c6138b5)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd868e70f8e1e3f0f69a4371fc4026cf0ea8f39)
![{\displaystyle I=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ec65159c44769434523e46928bc1b82681f842)
![{\displaystyle \scriptstyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5758c631ec0b54464daf2dd6d813159ee2ff488a)
![{\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} x=\lambda (I)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b4fe589350c577db4c08fc5d7c1b6c6e207de7)
![{\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} y=\int _{I}0~\mathrm {d} y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556293bfd3bb314ea2995b435499a35c259db3a4)