Теорема Фалеса про пропорційні відрізки

Теорема Фалеса — одна із теорем планіметрії. У математичній літературі країн колишнього Радянського Союзу відома як теорема Фалеса та узагальнена теорема Фалеса (теорема про пропорційні відрізки).

У європейській літературі теоремою Фалеса найчастіше називають іншу теорему.

Історія ред.

Теорема Фалеса належить давньогрецькому математику і філософу Фалесу Мілетському. За легендою, Фалес Мілетський знаходив висоту піраміди Хеопса, вимірюючи довжину її тіні на землі та довжину тіні палиці, вимірюваної висоти. Найперше письмове доведення цієї теореми подано в книзі «Начала» (книга VI).

Формулювання ред.

Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на одній прямій рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на іншій прямій.

  то  

Узагальнена теорема Фалеса: паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі а і b, відтинають на них пропорційні відрізки.

 

Доведення теореми Фалеса ред.

 
Малюнок 1

Нехай дано паралельні прямі       , які перетинають прямі   і  , причому   (дивитись праворуч Малюнок 1).

Через точки   і   проведено прямі   і  , паралельні прямій  .

  за другою ознакою рівності трикутників, оскільки:

1)  — за умовою,

2)  — відповідні кути при паралельних прямих   і  ,

3)  — відповідні кути при паралельних прямих   і  .

З рівності трикутників     = , як відповідні сторони рівних трикутників.

 
Малюнок 2

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник   — паралелограм, тому  .

З побудови (Малюнок 1) чотирикутник   — паралелограм, тому  .

Звідси   і  .

Доведення узагальненої теореми Фалеса ред.

Нехай прямі   і   перетинають паралельні прямі у точках   і   відповідно (дивитись праворуч Малюнок 2).

Доведемо, що   для випадку, коли існує відрізок такої довжини  , який можна відкласти ціле число разів на відрізку   і  . Нехай  ,   і  . Поділимо відрізок   на   рівних частин (довжиною  ), точка  - одна з точок поділу. Через точки поділу проведемо прямі, паралельні  . За теоремою Фалеса ці прямі ділять відрізок   на рівні відрізки деякої довжини  . Отримаємо: ,  ,   і      .

Література ред.

  • Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7—9 кл. загальноосвіт. навч. закл. — 7-ме вид. — К. : Школяр, 2004. — С. 85—87.

Посилання ред.