Теорема Абеля — Руффіні

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищих степенів є нерозв'язним у радикалах — для коренів многочлена не існує формули, в якій застосовуються чотири арифметичні дії та добування коренів (довільного ступеня).

Із доведення випливає існування рівнянь п'ятого й вищих ступенів, для яких корені не виражаються в радикалах. Найпростішими нерозв'язними в радикалах є рівняннями:

x^{5}\pm x-1=0

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння $\ n$ -го степеня має $\ n$ комплексних коренів, хоча над іншими полями коренів може і не існувати.

Загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія ред.

Паоло Руффіні, Teoria generale delle equazioni, 1799

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж у своїй роботі, описуючи способи пошуку коренів рівнянь, застосував поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті.

Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в його доведенні були прогалини. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа ред.

Сучасне доведення використовує теорію Галуа.

Група Галуа описує групи перестановок $\ S_{n}$ коренів многочленів.

При $n\geq 5$ група перестановок $\ S_{n}$ не є розв'язною.

Доведення теореми ред.

Нехай

\ y_{1}

— дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел

\mathbb {Q}

,

\ y_{2}

— трансцендентне над розширенням

\mathbb {Q} (y_{1})

, і так далі до

\ y_{5}

— трансцендентне над

\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})

.

Позначимо $\ E=\mathbb {Q} (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}),$ тоді:

f(x)=(x-y_{1})(x-y_{2})(x-y_{3})(x-y_{4})(x-y_{5})\in E[x].

Теорема Вієта: відкривши дужки, отримаємо що $\ f(x)$ є симетричною функцією відносно $\ y_{n},$ оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

\ s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}

\ s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+\cdots +y_{4}y_{5}

і так далі до

\ s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}.

Кожна перестановка $\ \sigma$ групи $\ S_{5}$ означає автоморфізм $\ \sigma '$ на $\ E$ що залишає $\mathbb {Q}$ нерухомим та переставляє $\ y_{n}.$ Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже $\ E$ також є нерухомим, отже утворює групу Галуа