Тау-число

Тау-число ($\tau$ -число, англ. refactorable number) — це таке ціле число $n$, яке ділиться на число своїх дільників, або, з точки зору алгебри, таке $n$, що $\tau (n)|n$.

Перші кілька тау-чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Наприклад, тау-число 18, яке має шість дільників (1 і 18, 2 і 9, 3 і 6) і ділиться на 6.

Асимптотична щільність тау-чисел — нуль. Відомо, що жодні три послідовні цілі числа не можуть бути тау-числами. Крім того, Колтон довів, що жодне тау-число не є досконалим. Рівняння $(n,x)=\tau (n)$ (де $(n,x)$ — найбільший спільний дільник $n$ і $x$) має корінь тільки, якщо $n$ — тау-число.

Залишається розглянути кілька питань щодо тау-чисел:

• чи існують як завгодно великі $n$, для яких і $n$, і $n+1$ є тау-числами
• якщо існує тау-число $n_{0}\equiv a{\pmod {m}}$, чи випливає з цього, що існує $n>n_{0}$, таке що $n$ є тау-числом і $n\equiv a{\pmod {m}}$.

Кертіс Купер і Роберт Кеннеді в 1990 році вперше виділили тау-числа. Вони встановили, що тау-числа мають нульову асимптотичну щільність. Пізніше Саймон Колтон за допомогою програми, яку він написав для відкриття і перевірки різних визначень в теорії чисел і теорії графів, підтвердив їх відкриття. Але Колтон назвав ці числа англ. refactorable. Це вперше, коли програма знайшла нову або раніше непомічену ідею. Колтон довів багато відомостей про тау-числа, показавши нескінченність їх ряду і кілька умов їх розподілу.