Стала функція

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.^[1]^[2]^[3] Наприклад, функція $y(x)=4$ є сталою функцією, тому що значення $y(x)$ дорівнює 4 незалежно від вхідного значення $x$ (див. зображення).

Основні властивості ред.

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму $y(x)=c$ або просто $y=c$ .

Приклад: Функція

y(x)=2

або просто

y=2

є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є

c=2

. Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».

Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції $y=c$ — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку $(0,c)$ .^[4]

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма $f(x)=c,c\neq 0$ . Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном $f(x)=0$ є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.^[5]

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.^[6] Часто це пишеться: $(c)'=0$ . Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.^[7]

Приклад: Дано сталу функцію

y(x)=-{\sqrt {2}}

. Похідна від y — тотожно нульова функція

y\,'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0

.

Інші властивості ред.

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин Ф. Вільяма Ловера^[en], елементарної теорії категорії множин (ETCS).^[8]
Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція ${\tilde {x}}:Y\rightarrow X$ така, що ${\tilde {x}}(y)=x$ для всіх $y\in Y$ . І навпаки, якщо функція $f:Y\rightarrow X$ задовольняє $f(y)=f(y')$ для всіх $y,y'\in Y$ , $f$ за визначенням є сталою функцією.
- Як наслідок, одноточкова множина є генератором^[en] в категорії множин.
- Кожна множина $X$ канонічно ізоморфна множині функцій $X^{1}$ , або множині Hom $\operatorname {hom} (1,X)$ у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, $\operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))$ ) категорія множин є замкнутою моноїдною категорією^[en] з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах $\lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho$ натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції $p_{1}$ і $p_{2}$ впорядкованих пар $(*,x)$ і $(x,*)$ відповідно до елемента $x$ , де $*$ є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є локально стала^[en] тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Примітки ред.

↑ Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function (PDF). Addison-Wesley. с. 175. Процитовано 12 січня 2014.
↑ Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
↑ Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано 12 січня 2014.
↑ Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN 978-0078682278.
↑ Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано 12 січня 2014.
↑ Zero Derivative implies Constant Function. Процитовано 12 січня 2014.
↑ Leinster, Tom (27 червня 2011). «An informal introduction to topos theory». arXiv:1012.5647 [math.CT].

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання ред.

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Стала функція

Weisstein, Eric W. Constant Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Constant function на PlanetMath

[1] Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN 0-8160-5124-0.

[2] C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function (PDF). Addison-Wesley. с. 175. Процитовано 12 січня 2014.

[3] Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN 0-8493-9640-9.

[4] Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано 12 січня 2014.

[5] Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN 978-0078682278.

[6] Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано 12 січня 2014.

[7] Zero Derivative implies Constant Function. Процитовано 12 січня 2014.

[8] Leinster, Tom (27 червня 2011). «An informal introduction to topos theory». arXiv:1012.5647 [math.CT].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]