Спеціальні функції

Спеціальні функції — функції, що зустрічаються в різних додатках математики (найчастіше — у різних задачах математичної фізики), які не виражаються через елементарні функції. Спеціальні функції представляються у вигляді рядів або інтегралів.

Класифікація

Спеціальні функції виникають звичайно з таких міркувань:

• Інтеграли, що не беруться.
• Розв'язок трансцендентних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях.
• Розв'язок диференціальних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях.
• Ряди, що не збігаються до елементарних функцій.
• Математичний вираз властивостей чисел.
• Необхідність задання функції з незвичайними властивостями.

Цей поділ не є строгим, оскільки, наприклад, більшість неелементарних розв'язків диференціальних рівнянь вдалося виразити через інтеграли, що не беруться, або у вигляді ряду. Тому не існує строгої класифікації трансцендентних функцій.

Більшість спеціальних функцій є трансцендентними.

Типи функцій

• Функції-інтеграли. До таких спеціальних функцій відносяться: бета-функція, гамма-функція, інтеграл ймовірності, інтегральний логарифм, інтегральний синус, інтегральний косинус, еліптичні функції.
• Функції-ряди. До таких функцій відносяться гіпергеометрична функція, дзета-функції.
• Неелементарні розв'язки диференціальних рівнянь. До таких спеціальних функцій відносяться: сферичні функції, циліндричні функції, функції Ейрі, функції параболічного циліндра.
• Незвичайні функції. Існує багато функцій з незвичайною поведінкою, вигаданих для різних цілей. Це функція Діріхле, функція Гевісайда (та її частинний випадок — Signum-функція).
• Функції, що виражають властивості чисел. Ці функції зазвичай пов'язані з найпростішими властивостями чисел. Сюди перш за все можна віднести спеціальні арифметичні функції, модуль, знак числа, факторіал.

Майже всі з цих функцій є частковими випадками дуже загальної функції G-функції Мейєра.

Див. також

• Проєкт Бейтмана
• Функція (філософія)
• Інтеграл Джексона
• Хі-функція Лежандра

Література

• Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
• Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.

Посилання

• О. М. Кисельов. Зоопарк чудовиськ або знайомство зі спеціальними функціями.
• Ф. Олвер. Введення в асимптотичні методи і спеціальні функції [Архівовано 10 серпня 2010 у Wayback Machine.].
• EqWorld [Архівовано 16 січня 2010 у Wayback Machine.].
• Bateman Manuscript Project
• ~ history / Biographies / Bateman.html Biographies: Harry Bateman [Архівовано 16 липня 2010 у Wayback Machine.]
• ~ history / Biographies / Erdelyi.html Biographies: Arthur Erdélyi [Архівовано 16 липня 2010 у Wayback Machine.]
• Вищі трансцендентні функції [Архівовано 4 березня 2022 у Wayback Machine.]