Сегмент (геометрія)

Сегмент — плоска фігура, обмежена кривою та її хордою. Круговий сегмент — це частина круга, обмежена дугою кола та її хордою або січною.

Круговий сегмент зафарбований жовтим кольором

Формули

Нехай R — радіус кола, θ — центральний кут у градусах, α — центральний кут у радіанах, c — довжина хорди, s — довжина дуги, h — висота сегменту та d — висота трикутної частини.

• Радіус $R=h+d=h/2+c^{2}/8h{\frac {}{}}$

• Довжина дуги $s={\frac {\theta }{180}}\pi R={\alpha }R$, де θ — центральний кут у градусах, α — центральний кут у радіанах.

• Довжина хорди $c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=2d\tan {\frac {\theta }{2}}=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {h(2R-h)}}$

• Висота $h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}$

• Кут $\theta =2\arccos {\frac {d}{R}}=2\arcsin {\frac {c}{2R}}=2\arctan {\frac {c}{2d}}$

Площа

Площа кругового сегмента дорівнює площі сектору круга мінус площа трикутника:

$S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta )$, де $\theta$ — кут у радіанах.

$S=R^{2}\arccos \left({\frac {R-h}{R}}\right)-(R-h){\sqrt {2Rh-h^{2}}}$

$S=R^{2}\arccos \left({\frac {d}{R}}\right)-d\,{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}$

$S=R^{2}\arcsin \left({\frac {c}{2R}}\right)-{\frac {c}{4}}\,{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}$

Див. також

• Сектор (геометрія)
• Сферичний сегмент
• Кульовий сегмент

Посилання

• Сегмент круга // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Weisstein, Eric W. Circular segment(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.