Ряд Дайсона

Ряд Дайсона — ряд збурень у теорії розсіяння, кожен із членів якого можна зобразити у вигляді діаграми Фейнмана. Ряд носить ім'я Фрімена Дайсона і є загалом розбіжним, однак, уже другий член цього ряду в квантовій електродинаміці дозволяє отримати точність до 10⁻¹⁰ завдяки малості сталої тонкої структури.

Побудова ряду Дайсона використовує поняття часового упорядкування.

Система

Вивчається система, що описується гамільтоніаном, який є сумою незбуреної частини й збурення:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$

У зображенні взаємодії оператор еволюції хвильової функції ${\hat {U}}(t,t_{0})$ задовольняє рівнянню Томонаги-Швінгера

$i\hbar {\frac {{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\hat {V}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})$,

де

${\hat {V}}(t)=e^{i/\hbar {\hat {H}}_{0}t}{\hat {V}}e^{-i/\hbar {\hat {H}}_{0}t},$

або інтегродиференціальному рівнянню

${\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})dt_{1}$

Підставляючи оператор еволюції з лівої частини в праву, можна отримати нескінченний ряд:

${\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {V}}(t_{1})dt_{1}+{\frac {(-i)^{2}}{\hbar ^{2}}}\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})dt_{1}dt_{2}+\ldots$

Пропозиція Дайсона

Дайсон запропонував розширити інтегрування в кожному інтегралі від $t_{0}$ до $t$, але вимагати, щоб оператори завжди були упорядковані в часі, тобто в добутку ${\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})$, наприклад, завжди було $t_{1}>t_{2}$. Тоді кожен із доданків ряду збільшиться в $n!$ разів.

Як наслідок n-ний член ряду матиме вигляд:

${\hat {U}}_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!\hbar ^{n}}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}{\hat {V}}(t_{1}){\hat {V}}(t_{2})\cdots {\hat {V}}(t_{n})}}}.$,

де ${\mathcal {T}}$ - оператор часового упорядкування.

Як наслідок, ряд Дайсона можна записати в компактному вигляді:

${\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }{\hat {U}}_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i/\hbar \int _{t_{0}}^{t}{d\tau {\hat {V}}(\tau )}}.$

Джерела

• А. Г. Ситенко (1971). Лекции по теории рассеяния. Київ: Вища школа.