Розкладання дробів при інтегруванні

В інтегруванні, розкладання дробів дозволяє інтегрувати раціональні функції. Будь-яка раціональна функція може бути представлена у вигляді суми деякого многочлена і деякого числа дробових функцій. Кожен дріб має знаменник у вигляді многочлена першого і другого степеня, до того ж многочлен в знаменнику, в свою чергу, також може бути піднесеним до деякого додатного цілого степеня. (У випадку комплексної змінної, знаменники є многочленами першого степеня, і ці многочлени можуть бути піднесені до цілого додатного степеня). Якщо знаменник є многочленом першого степеня, піднесений в деякий цілий додатній степінь, то чисельник дробу є постійним числом. Якщо знаменник є многочленом другого степеня (або деякого цілого додатного степеня такого многочлена), тоді чисельник є многочленом першого степеня.

Рішення Ісаака Барроу для інтегралу від секансу було першим випадком використання розкладання дробів в інтегруванні.

Неформальний опис

Відомо, що многочлен n-го степеня в загальному випадку має n комплексно-спряжених коренів (деякі корені можуть збігатися). Наприклад, многочлен x² − 6x + 8 має два корені; многочлен x³ − 6x² + 8x + 7 має три корені тощо.

Відповідно, будь-який многочлен може бути розкладений за формулою

$ax^{n}+bx^{n-1}+...+k=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})...(x-x_{n})$

де $x_{1}$, $x_{2}$…$x_{n}$ — корені многочлена.

Наприклад, многочлен x² − 6x + 8 можна розкласти наступним чином:

x² − 6x + 8 = (x - 2)(x - 4),

де 2 і 4 — корені квадратного рівняння x² − 6x + 8=0.

Отже, дріб, знаменником якої є многочлен, може бути розкладений наступним чином:

${\frac {1}{ax^{n}+bx^{n-1}+...+k}}={\frac {A}{a}}+{\frac {B}{(x-x_{1})}}+{\frac {C}{(x-x_{2})}}+{\frac {D}{(x-x_{3})}}+...+{\frac {K}{(x-x_{n})}}$.

Ця операція розкладання дробу в деякому сенсі зворотня операції приведення дробу до спільного знаменника, з тією лише різницею, що тут ставиться зворотня задача — не привести дріб до спільного знаменника, а розкласти дріб, що має спільний знаменник, на декілька дробів, що мають різні знаменники.

Для прикладу розкладемо дріб

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}$.

Згідно з тим, що написано вище, розклад цього дробу буде таким

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}={\frac {A}{x-2}}+{\frac {B}{x-4}}$.

Почнемо приводити два дроби у правій частині рівняння до спільного знаменника, і, очевидно, що чисельник, отриманого дробу буде рівним чисельнику первісного дробу

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}$,

тобто, чисельник отриманого дробу буде дорівнювати одиниці.

Маємо

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}={\frac {A(x-4)}{(x-2)(x-4)}}+{\frac {B(x-2)}{(x-4)(x-2)}}$.

Записуючи два дроба з правого боку під одну риску, отримаємо

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}={\frac {A(x-4)+B(x-2)}{(x-2)(x-4)}}$.

Розкривши дужки в знаменнику, отримаємо

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}={\frac {A(x-4)+B(x-2)}{x^{2}-6x+8}}$.

Враховуючи, що знаменники однакові, то чисельники дробів з правої і лівої сторони можна порівняти; тоді отримаємо:

$1=A(x-4)+B(x-2)$.

Розкриємо дужки з правої частини рівності та згрупуємо доданки:

$1=(A+B)x+(-4A-2B)$.

В лівій частині множник при змінній х дорівнює нулю (змінна х відсутня), а вільний член дорівнює 1. В правій частині рівності множник при х дорівнює (А+В), а вільний член дорівнює (-4A — 2B). Прирівнюючи множники при х в правій і лівій частинах отримуємо рівняння:

$(A+B)=0$.

Аналогічно прирівнюємо вільні члени, і отримуємо рівняння:

$(-4A-2B)=1$.

Об'єднуємо ці два рівняння в систему:

$\left\{{\begin{matrix}A+B=0\\-4A-2B=1\end{matrix}}\right.$.

Розв'язуючи цю систему, знаходимо,що

$A=-{\frac {1}{2}}$,

$B={\frac {1}{2}}$.

Отже, маємо розклад

${\frac {1}{x^{2}-6x+8}}={\frac {-1/2}{x-2}}+{\frac {1/2}{x-4}}$

Тоді, інтеграл від дробу

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx$

буде дорівнювати сумі інтегралів від двох дробів

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx=\int {\frac {-1/2}{x-2}}\,dx+\int {\frac {1/2}{x-4}}\,dx$.

Враховуючи, що під знаком диференціалу до змінної можна додавати будь-яку константу, запишемо

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx=\int {\frac {-1/2}{x-2}}\,d(x-2)+\int {\frac {1/2}{x-4}}\,d(x-4)$

Зробимо дві заміни

$(x-2)=z$, $(x-4)=y$.

Тоді інтеграл прийме вигляд

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx=-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{z}}\,d(z)+{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{y}}\,d(y)$.

Ці два інтеграли можна знайти за таблицею інтегралів. Тоді остаточно отримуємо:

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx=-{\frac {1}{2}}\ln |z|+{\frac {1}{2}}\ln |y|+C$

або

$\int {\frac {1}{x^{2}-6x+8}}\,dx=-{\frac {1}{2}}\ln |x-2|+{\frac {1}{2}}\ln |x-4|+C$.

Многочлен першого степеня в знаменнику

Підстановка u = ax + b, du = a dx дозволяє спростити інтеграл

$\int {1 \over ax+b}\,dx$

до

$\int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int {du \over u}={1 \over a}\ln \left|u\right|+C={1 \over a}\ln \left|ax+b\right|+C.$

Многочлен першого степеня в знаменнику, зведений до деякого цілого додатного степеня

Та ж сама підстановка спрощує інтеграл, подібний наступному

$\int {1 \over (ax+b)^{8}}\,dx$

до

$\int {1 \over u^{8}}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du={1 \over a}\cdot {u^{-7} \over (-7)}+C={-1 \over 7au^{7}}+C={-1 \over 7a(ax+b)^{7}}+C.$

В знаменнику многочлен другого степеня, який не має дійсних коренів

Розглянемо інтеграл

$\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

Найпростіший шлях побачити, що знаменник x² − 8x + 25 не має дійсних коренів, полягає в тому, щоб обчислити його дискримінант, і побачити, що цей дискримінант від'ємний. Іншим чином, можна виділити повний квадрат в знаменнику:

$x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,$

і можна побачити, що знаменник являє собою суму квадратів двох чисел, і ця сума ніколи не може бути рівною 0 або менше 0, якщо x — дійсне число.

Використовуючи підстановку

${\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25\\du&=(2x-8)\,dx\\du/2&=(x-4)\,dx\end{aligned}}$

нам потрібно виділити вираз x − 4 в чисельнику. Тоді мі зможемо записати чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і тоді інтеграл буде записан у вигляді

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

Наведена вище підстановка дозволяє взяти перший із цих двох інтегралів:

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C.$

Причина, з якої ми можемо опустити модульні дужки, є у тому, що, як ми казали раніше, вираз (x − 4)² + 9 не може мати від'ємних значень.

Далі треба взяти інтеграл

$\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

В першу чергу, виділимо повний квадрат в знаменнику, після чого проведемо не складні алгебраїчні перетворення:

${\begin{aligned}&{}\quad \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx\\[9pt]&=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx={10 \over 3}\int {1 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,\left({dx \over 3}\right)\end{aligned}}$

Тепер використаємо наступну підстановку

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

що дозволяє знайти

${10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\operatorname {arctg} \,w+C={10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

Додаючи обидва знайдених вирази, запишемо результат інтегрування

$\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+{10 \over 3}\operatorname {arctg} \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

Використання комплексного розкладу

В деяких випадках зручніше використовувати комплексний розклад многочлена. Так, у наведеному вище прикладі:

$\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx$

Розкладаємо знаменник на два комплексні множники:

$x^{2}-8x+25=(x-4+3i)(x-4-3i)$

Після чого шукаємо розклад підінтегрального виразу на два доданки:

${\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}={\frac {A}{x-4+3i}}+{\frac {B}{x-4-3i}}$

Вирішивши нескладну систему лінійних рівнянь, отримуємо:

$A={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i,B={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i$

$\int {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}\,dx=({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx+({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx$

Після інтегрування маємо:

$\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4+3i)+\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4-3i)+C$

Згрупуємо окремо дійсні та уявні доданки:

${\tfrac {1}{2}}\left(\ln(x-4+3i)+\ln(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\left(\ln(x-4+3i)-\ln(x-4-3i)\right)+C$

${\tfrac {1}{2}}\ln \left((x-4+3i)(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C$

${\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {1-i{\frac {x-4}{3}}}{1+i{\frac {x-4}{3}}}}+C$

Як відомо, арктангенс комплексного змінного виражаеться через логарифм:

$\operatorname {arctg} \,z={\tfrac {1}{2}}i\ln {\frac {1-i\,z}{1+i\,z}}$

Це дає нам можливість переписати другий доданок через арктангенс:

${\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {10}{3}}\operatorname {arctg} {\frac {x-4}{3}}+C$

В знаменнику многочлен другого степеня, зведений до цілого додатного степеня

Розглянемо інтеграл

$\int {x+6 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.$

Так само, як це робилося вище, можна представити чисельник x + 6 у вигляді суми (x − 4) + 10, і взяти ту частину, котра містить вираз x − 4, за допомогою підстановки

${\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25,\\du&=(2x-8)\,dx,\\du/2&=(x-4)\,dx.\end{aligned}}$

Нам залишається лише знайти інтеграл

$\int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.$

Як це робилося вище, спочатку виділимо повний квадрат, після цього зробимо нескладні математичні дії

$\int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx=\int {10 \over ((x-4)^{2}+9)^{8}}\,dx=\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1\right)^{8}}\,dx.$

Після цього можна використовувати підстановку:

$\operatorname {tg} \theta ={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\operatorname {tg} ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,$

$d(\operatorname {tg} \theta )=\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,$

Після чого інтеграл приймає вигляд

$\int {30/9^{8} \over \sec ^{16}\theta }\sec ^{2}\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos ^{14}\theta \,d\theta .$

Декілька разів використовуючи формулу

$\cos ^{2}\theta ={1 \over 2}(1+\cos(2\theta )),$

можна спрощувати цей інтеграл, до поки підінтегральний вираз не буде мати cos θ в степені, більше ніж 1.

Далі варто виразити sin(θ) і cos(θ) як функції від x. Приймемо, що

$\operatorname {tg} (\theta )={x-4 \over 3},$

і що тангенс = (протилежна сторона)/(прилегла сторона). Якщо «протилежна» сторона має довжину x − 4 і «прилегла» сторона має довжину 3, то згідно теоремі Піфагора гіпотенуза має довжину √((x − 4)² + 3²) = √(x² −8x + 25).

Маємо

$\sin(\theta )={x-4 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},$

$\cos(\theta )={3 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},$

і

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )={6(x-4) \over x^{2}-8x+25}.$

Посилання

• Partial Fraction Expander
• Mathematical Assistant on Web [Архівовано 1 грудня 2008 у Wayback Machine.] online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes partial fractions, powered by Maxima (software))

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях) Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. 4-е изд., испр. и доп.— M.: Высш. шк., 1986. ч.1 — 304с.; ч.2 — 416с