Пі-теорема Букінгема

Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація методу аналізу розмірностей Релея. Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n - k безрозмірнісних параметрів π₁, π₂, ..., π_p сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.)

Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома.

Твердження

Більш формально, кількість безрозмірнісних членів, які можна утворити, p, дорівнює вимірності ядра матриці розмірностей, а k — це її ранг. Для експериментальних цілей, різні системи, що мають однаковий опис мовою цих безрозмірнісних фізичних величин — тотожні.

Викладаючи математично, якщо ми маємо фізично значиме рівняння таке як

$f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,$

де q_i — це n фізичних змінних і вони виражені через k незалежних фізичних одиниць, тоді попереднє рівняння можна переформулювати як

$F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$

де π_i — це безрозмірнісні параметри, утворені з q_i використовуючи p = n − k безрозмірнісних рівнянь — так званих Пі груп — у вигляді

$\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},$

де показники a_i — це раціональні числа (їх завжди можна перевизначити як цілі, піднесши π_i до степеня, так щоб позбутись знаменника).

Доведення

Нарис

Припустимо, що простір фундаментальних і похідних фізичних величин формує векторний простір над раціональними числами, де фундаментальні величини виявляють себе як базисні вектори, а добуток фізичних величин проявляється як векторне додавання і піднесення до степеня як множення на скаляр. Цей простір представляє розмірності як множину показників, необхідних для фундаментальних величин (якщо степінь нульова, то ця фундаментальна величина відсутня). Наприклад, стандартне гравітаційне прискорення g має одиниці $D/T^{2}=D^{1}T^{-2}$, отже, воно представлене як вектор $(1,-2)$ щодо базису фундаментальних одиниць (відстань, час).

Прирівнювання фізичних величин у множині фізичних рівнянь можна розглядати як накладання лінійних обмежень у векторному просторі фізичних величин.

Формальне доведення

Маючи систему з n розмірнісних змінних (з фізичними розмірностями) в k фундаментальних (базисних) розмірностях, запишемо матрицю розмірностей M, чиї рядки це фундаментальні розмірності і чиї стовпчики це розмірності змінних: (i, j)-й елемент — це степінь i-ї фундаментальної розмірності в j-й змінній. Отже,

$M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}$

це фізичні одиниці величини

$q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}.$

Безрозмірнісна змінна — це величина з фундаментальними розмірностями, піднесеними в нульовий степінь (нульовий вектор векторного простору фундаментальних розмірностей), що те саме, що ядро цієї матриці.

Система з n векторів (стовпчиків) з k лінійно незалежними рядками (ранг матриці — це кількість фундаментальних розмірностей) має ступінь виродженності, p, що задовольняє (p = n − k), де ступінь виродженності — це кількість стовпчиків/змінних, які можна зробити безрозмірнісними.

Безрозмірнісні змінні можна завжди обрати цілочисельними комбінаціями розмірнісних змінних. Не існує природного математичного вибору безрозмірнісних змінних; деякі варіанти безрозмірнісних змінних більш фізично значимі, і найкраще використовувати саме їх.

Приклади

Швидкість

Цей приклад елементарний, але підходить для демонстрації процедури.

Припустімо, що автівка рухається зі швидкістю 100 км/г; скільки їй потрібно часу, щоб подолати 200 км?

Це питання розглядає три розмірнісних змінних: відстань d, час t і швидкість v, і ми шукаємо деякий закон у вигляді t = Тривалість(v, d) . Ці змінні допускають двовимірний базис: час T і відстань D. Таким чином, існує 3 − 2 = 1 безрозмірнісних величин.

Матриця розмірностей:

$M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}.$

Тут рядки відповідають базисним розмірностям D і T, а стовпчики розмірностям D, T і V, де остання позначає розмірність швидкості. Елементи матриці відповідають степеням, до яких відповідні розмірності треба піднести. Наприклад, третій стовпчик (1, −1), каже, що V = D⁰T⁰V¹, представлене вектором стовпчиком $\mathbf {v} =[0,0,1]$, представне в термінах базисних розмірностей як $V=D^{1}T^{-1}=D/T$, бо $M\mathbf {v} =[1,-1]$.

Для безромірнісної сталої $\pi =D^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}}$, ми шукаємо вектори $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]$ такі, що матрично-векторний добуток Ma дорівнює нульовому вектору [0,0]. В лінійній алгебрі, множина векторів з такою властивістю відома як ядро матриці, в нашому випадку матриці розмірностей. Тут це ядро одновимірне. Матриця розмірностей як записана вище вже є в скороченій рядковій формі, отже ми можемо просто зчитати ненульовий вектор з ядра з точністю до сталого множника:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.$

Якщо матриця розмірностей була б не у скороченій формі, то можна було б використати метод Гауса. Отже, безрозмірнісна стала має вигляд:

$\pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.$

З того, що ядро визначене з точністю до сталого множника, наведена безрозмірнісна стала піднесена до довільного степеня дає іншу (тотожну) безрозмірнісну сталу.

Аналіз розмірностей надав загальне рівняння, що пов'язує три фізичні змінні:

$f(\pi )=0,$

або, дозволяючи $C$ позначати корінь функції $f$,

$\pi =C,$

що можна записати як

$t=C{\frac {d}{v}},$

Справжній зв'язок між трьома змінними це просто $d=vt$. Інакше кажучи, в цьому випадку $f$ має фізично значимий корінь і це одиниця. Факт того, що лише одне значення C підходить і, що це 1 не відкривається за допомогою техніки аналізу розмірностей.

Простий маятник

Ми бажаємо визначити період T малих коливань простого маятника. Ми припускаємо, що це функція довжини L, маси M і прискорення g, яке має розмірність довжини поділеній на квадрат часу. Модель має форму

$f(T,M,L,g)=0.$

В цьому рівнянні наявні три фундаментальні фізичні розмірності: час $t$, маса $m$ і довжина $\ell$, а також 4 розмірнісні змінні, T, M, L і g. Отже нам потрібен лише 4 − 3 = 1 безрозмірнісний параметр π. Модель можна виразити як

$f(\pi )=0,$

де π заданий так

$\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}$

для деяких значень a₁, ..., a₄.

Розмірності розмірнісних величин такі:

$T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.$

Матриця розмірностей:

$M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.$

(Рядки відповідають розмірностям $t,m$ і $\ell$, а стопчики розмірнісним змінним T, M, L і g. Наприклад, 4-й стовпчик, (−2, 0, 1), говорить, що g має розмірність $t^{-2}m^{0}\ell ^{1}$.)

Ми шукаємо вектор ядра a = [a₁, a₂, a₃, a₄] такий, що матричний добуток M на a дає нульовий вектор [0,0,0]. Матриця розмірностей наведена вище вже перебуває в скороченій рядковій формі, тому ми можемо зчитати вектор ядра з точністю до сталого множника:

$a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.$

Безрозмірнісну сталу можна записати як:

${\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.$

Або в базисних розмірностях:

$\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,$

маємо безрозмірнісний результат.

Цей приклад простий, бо три розмірнісні величини — це фундаментальні одиниці, отже остання (g) — це комбінація попередніх. Зауважимо, що якщо б a₂ було ненульовим, тоді ми не змогли б скоротити значення M; звідси a₂ мусить бути нулем. Аналіз розмірностей дозволив нам заключити, що період маятника не залежить від маси. (В 3D просторі степенів маси, часу і відстані ми можемо скзати, що вектор маси лінійно незалежить від векторів трьох інших змінних. З точністю до сталого множника, ${\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}$ — це єдиний нетривіальний спосіб утворити безрозмірнісний параметр.)

Тепер модель можна виразити як:

$f(gT^{2}/L)=0.$

Припускаючи, що корені f дискретні, можна сказати, що gT²/L = C_n, де C_n — n-й корінь функції f. Якщо існує лише один корінь, тоді gT²/L = C. Необхідно більше фізичної прозорливості, що показати, що дійсно існує лише один корінь і, що стала така C = 4π².

Для великих коливань маятника, аналіз ускладнюється додатковим безрозмірнісним параметром, найбільший кут відхилення. Наведений вище аналіз — це хороше наближення коли коли кут близький до нуля.

Див. також

• Безрозмірнісна фізична величина
• Природні системи одиниць
• Теорія подібності