Піфагорові середні

У математиці три класичні засоби Піфагорових середніх: середнє арифметичне (AM), середнє геометричне (GM) і середнє гармонійне (HM). Ці засоби були пропорційно вивчені піфагорійцями разом з пізнішим поколінням грецьких математиків, через їхню важливість у геометрії та музиці.

Геометричне представлення різних математичних середніх. a, b - два числа. A = арифметичне середнє чисел 'a' і 'b'. G = геометричне середнє, H = гармонійне середнє, Q = середнє квадратичне

Порівняння арифметичних, геометричних і гармонійних середніх пар чисел. Вертикальні пунктирні лінії є асимптотами для гармонійних.

Визначення

Вони визначаються так:

${\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}$

Властивості

Кожне значення ${\textstyle \operatorname {M} }$ має наступні властивості:

Збереження цінності

$\operatorname {M} (x,x,\,\ldots ,\,x)=x$

Однорідна функція першої послідовності

$\operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})$

Інваріантність при перестановці

$\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )$

для будь-якої $i$ та $j$.

Виведення середньої величини

$\min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})$

Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один одного для позитивних аргументів:

$\operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}$

в той час як середнє геометричне — це його власна взаємна подвійність:

$\operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}$

Нерівності серед середніх

Існує впорядкування цих середніх (якщо всі $x_{i}$ позитивні)

$\min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max$

з рівноправністю, тільки якщо всі $x_{i}$ рівні.

Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності, $\operatorname {AM} \leq \max$ та взаємної подвійності ($\min$ і $\max$ також взаємні подвійні).

Вивчення піфагорових середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації й шур-опуклої функції. Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.

Посилання

• Cantrell, David W. Pythagorean Means(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (на англ.)
• Nice comparison of Pythagorean means with emphasis on the harmonic mean (на англ.)