Псевдоевклідів простір

Псевдоевклідів простір — скінченномірний дійсний векторний простір або афінний простір з невиродженим індефінітним скалярним добутком, який називають також індефінітною метрикою. Індефінітна метрика не є метрикою у сенсі визначення метричного простору, а являє собою частковий випадок метричного тензора.

Найважливішим прикладом псевдоевклідового простору є простір Мінковського.

Сигнатура псевдоевклідового простору

Обравши відповідний базис векторного псевдоевклідового простору $L$, завжди можна домогтися того, щоб індефінітний скалярний добуток цього простору мав вигляд

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{m+1}y_{m+1}-\ldots -x_{n}y_{n},$

де $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ та $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ — вектори простору $L$. Зокрема, скалярний квадрат вектора має вигляд

$\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2},$

і може бути як додатнім, так і від'ємним числом, а також нулем (навіть для ненульового вектора $x$). Відповідно, довжина вектора $x$, визначена рівністю

$\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},$

є або дійсним додатнім, або чисто уявним числом, або нулем.

Аналогічно, вибором репера завжди можна домогтися того, щоб відстань між точками $n$-вимірного афінного псевдоевклідового простору з координатами $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ і $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ записувалось у вигляді

$d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{m+1}-y_{m+1})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.$

Базиси і репери з такою властивістю називаються ортонормованими.

Пара чисел $(m,n-m)$ (які задають кількість базисних векторів дійсної й чисто уявної довжини, відповідно) не залежить від вибору ортонормованого базису або репера (закон інерції Сільвестра) і називається сигнатурою псевдоевклідового простору.

Псевдоевклідові простори з різними сигнатурами не ізометричні один одному. Утім, простір із сигнатурою $(m,n-m)$ може бути перетворений в простір з сигнатурою $(n-m,m)$ зміною знаку скалярного добутку, і тому відмінності між такими просторами зазвичай не роблять: зокрема, простір Мінковського в різних джерелах визначається або як простір сигнатури $(1,3)$, або як простір сигнатури $(3,1)$. Таким чином, кожному виміру $n$ відповідає $\left[n/2\right]$ (де прямі дужки означають взяття цілої частини) різних $n$-вимірних псевдоевклідових просторів.

Ізотропні вектори, напрямки, конуси

Важливою особливістю просторів з індефінітною метрикою є наявність ненульових векторів, які мають нульову довжину. Такі вектори (а також прямі, напрямними векторами яких вони є) називаються ізотропними або світлоподібними (останнє найменування частіше використовується у фізиці, воно пов'язане з простором Мінковського). Підпростір векторного псевдоевклідова простору називається ізотропним, якщо він повністю складається з ізотропних векторів.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова векторного простору називається ізотропним конусом (або світловим конусом) цього простору. Світловий конус простору сигнатури $(1,n-1)$ не має «граней», тобто ізотропних підпросторів вимірності понад 1.

Множина всіх ізотропних векторів псевдоевклідова афінного простору, відкладених від довільної фіксованої точки, називається ізотропним конусом (або світловим конусом) простору в цій точці. Ця множина справді є конусом (в узагальненому сенсі цього поняття) з вершиною в цій точці. Ізотропні конуси псевдоевклідового афінного простору з вершинами в різних точках можна отримати один з одного за допомогою паралельного перенесення.

Зокрема, псевдоевклідова векторна площина має рівно два ізотропних напрямки. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ ізотропні напрямки — прямі $x_{1}\pm x_{2}=0,$ тому ізотропний конус складається з об'єднання цих двох прямих.

Тривимірний псевдоевклідовий векторний простір має нескінченну кількість ізотропних напрямків. В ортонормованому базисі, де скалярний квадрат вектора набуває вигляду $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ ізотропні напрямки — це всі прямі, що лежать на ізотропному конусі $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$ який в цьому випадку являє собою справжній конус.

Підпростори псевдоевклідового простору

Взаємне розташування площини та ізотропного конуса в тривимірному псевдоевклідовому просторі

Підпростір псевдоевклідового простору із сигнатурою $(n-m,m)$ не обов'язково є теж псевдоевклідовим; він може бути й евклідовим простором. Наприклад, у тривимірному псевдоевклідовому просторі із сигнатурою $(2,1)$ площина $\Pi$ може бути або псевдоевклідовим простором з сигнатурою $(1,1)$, або евклідовим простором, або мати вироджений скалярний добуток. Геометрично ці три випадки визначаються розташуванням площини $\Pi$ відносно ізотропного конуса (див. рисунок). А саме: площина $\Pi$ є псевдоевклідовою, якщо вона перетинає ізотропний конус по двох різних прямих (ізотропних напрямках); обмеження скалярного добутку на площину $\Pi$ вироджене, якщо $\Pi$ дотикається ізотропного конуса, тобто, перетинається з ним лише по одній прямій; нарешті, площина $\Pi$ є евклідовою, якщо вона має з ізотропним конусом єдину спільну точку (вершину конуса).

Кола та сфери

З погляду геометрії псевдоевклідової площини, колами довільного ненульового (дійсного або чисто уявного) радіуса є гіперболи. Аналогічно, у тривимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури $(2,1)$ сферами ненульового дійсного радіуса є однопорожнинні гіперболоїди, а сферами ненульового чисто уявного радіуса — двопорожнинні гіперболоїди. Аналогічна ситуація в просторах більшої кількості вимірів, наприклад, у чотиривимірному просторі сигнатури (3,1).

За своїми геометричними властивостями кожна з двох «половин» гіперсфери уявного радіуса в $n+1$-вимірному псевдоевклідовому просторі сигнатури $(n,1)$ є $n$-вимірним простором Лобачевського. Простори вимірності $k$ (від $0$ до $n-1$) в цьому просторі Лобачевського відповідають підпросторам вимірності $k+1$ початкового псевдоевклідового простору, які проходять через початок координат і перетинають гіперсферу уявного радіуса, а його рухи відповідають перетворенням Лоренца.

Зворотна нерівність Коші — Буняковського

У псевдоевклідовому просторі з сигнатурою $(n-1,1)$ для всіх векторів уявної довжини виконана нерівність, зворотна нерівності Коші-Буняковського для евклідових просторів:

$\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

Застосування у фізиці

Найважливішим окремим випадком псевдоевклідового простору є простір Мінковського, що використовується в спеціальній теорії відносності як простір-час, в якому метрика сигнатури (1,3) Лоренц-інваріантна (тільки псевдоевклідова метрика може бути Лоренц-інваріантною), а для часоподібності двох подій довжина (у сенсі такої метрики) кривої, що з'єднує ці події і теж усюди часоподібній, є час між ними, виміряний по годиннику, рух якого описується в просторі-часі цієї кривої. Ізотропні напрямки є напрямами поширення світла і називаються також нульовими або світлоподібними.

Теоретична фізика розглядає псевдоевклідові простори й іншої вимірності, однак зазвичай метрика в них має сигнатуру $(1,n)$,тобто це простори з однією часовою координатою та n — просторовими.

Приклади

• Для евклідового простору завжди $\ k=n,$ тому квадратична форма є додатноозначеною.
• Важливим псевдоевклідовим простором є простір Мінковського, для якого $\ n=4,k=3.$
• Найпростішим псевдоевклідовим простором є площина подвійних чисел: z = x + y j з квадратичною формою

$\lVert z\rVert =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}.$

Властивості

• $\ q(x)$ не є нормою, оскільки вона не є невід'ємною і для неї не виконується нерівність трикутника.
• У псевдоевклідовому просторі, на відміну від евклідового, існують ненульові вектори нульової довжини $q(x)\leqslant 0.$

Див. також

• Евклідів простір
• Перетворення Лоренца
• Метрика Лоренца
• Простори Бервальда — Моора

Література

• Walter Noll (1964) «Euclidean geometry and Minkowskian chronometry», American Mathematical Monthly 71: 129—44.
• Poincaré, Science and Hypothesis 1906 referred to in the book B.A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (английский перевод) с. 266.
• Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space, and differential geometry. Cambridge University Press. ISBN 0521829607.
• Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. — Энциклопедия элементарной математики. Том V. Геометрия
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — Будь-яке видання.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Будь-яке видання.
• Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.