Простір Соболєва

Простір Соболєва — функціональний простір, що складається з функцій із простору Лебега ($L_{p}(Q)$), які мають слабкі похідні заданого порядку з $L_{p}(Q)$. При $1\leqslant p\leqslant \infty$ простори Соболєва є банаховими просторами, а при $p=2$ — гільбертовими просторами. Для гільбертових просторів Соболєва також прийнято позначення $H^{k}(Q)$.

Для області $Q\subset R^{n}$ норма у просторі Соболєва $W_{p}^{k}(Q)$ порядку $k\geqslant 1$ та підсумованих зі степенем $1\leqslant p<\infty$ вводиться за такою формою:

$\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{\alpha \leqslant k}\int \limits _{Q}|D^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},$

а при $p=\infty$ норма виглядає так:

$\|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{\alpha \leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\alpha }u|,$

де $\alpha$ — це мультиіндекс, а операція $D^{\alpha }$ є слабка похідна по мультиіндексу.

Простори Соболєва були введені радянським математиком Сергієм Львовичем Соболєвим та потім названі у його честь.

Вступ та історія питання

Ідея про узагальнення розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними починає проникати в математичну фізику в 20-х роках XX ст. З одного боку, необхідність в розширенні класів функцій виникає в багатовимірних варіаційних задачах, а з іншого, — при дослідженні хвильового рівняння і рівнянь гідродинаміки. В цих задачах класи неперервних функцій були недостатніми.

В роботі Фрідріхса 1934 при дослідженні мінімуму квадратичного функціоналу були введені класи функцій, які збігаються з просторами Соболєва $H_{0}^{1}(Q)$ — просторами Соболєва першого порядку, які мають нульовий слід на границі області. Проте в цих роботах (так званих прямих варіаційних задачах) ще не було розуміння того, що простори Соболєва другого порядку є класом коректності для еліптичних крайових задач, відповідним варіаційним задачам. В 1936 році в основоположній роботі Соболєва вводяться узагальнені розв'язки основних видів лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку (хвильове рівняння, рівняння Лапласа і рівняння теплопровідності) з класів функцій, які потім були названі просторами Соболєва. В цих роботах узагальнені розв'язки розуміються як ліміти класичних рівнянь, до того ж ліміти розглядаються в класах інтегровних функцій. Таке розширення понять дає змогу досліджувати задачі з доволі загальними правими частинами і коефіцієнтами рівнянь.

У 1930-х роках починається всестороннє дослідження просторів Соболєва. Найбільш важливими були роботи Реліха про компактність вкладання (теорема Реліха — Гордінга) і теореми про вкладання (теореми Соболєва і Соболєва — Кондрашова). Ці теореми дали змогу побудувати узагальнені розв'язки для багатьох задач математичної фізики, а також встановити зв'язок з класами неперервних функцій.

У 1940-х роках Ладиженською було запропоновано визначати узагальнені розв'язки за допомогою інтегральних тотожностей для функцій з просторів Соболєва. Використання інтегральних тотожностей виявилося дуже зручним для дослідження гладкості розв'язків рівнянь з частинними похідними. У наш час визначення узагальнених рішень через інтегральні тотожності є стандартним методом постанови задач.

Простори Соболєва мають принципове значення не лише у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, але ще і в варіаційних задачах, теорії функцій, теорії наближень, методах обчислення, теорії керування та багатьох інших розділах аналізу і його додатків.

Властивості просторів Соболєва

• Для будь-якої області $Q'\subset Q$ з $f\in W_{p}^{k}(Q)$ випливає, що $f\in W_{p}^{k}(Q')$.
• Якщо $f\in W_{p}^{k}(Q)$ і $a\in C^{k}({\overline {Q}})$, то $af\in W_{p}^{k}(Q)$.
• Якщо $f\in W_{p}^{k}(Q)$ фінітна в $Q$, то продовження цієї функції нулем належить $W_{p}^{k}(Q')$ для будь-якої $Q\subset Q'$.
• Нехай $y=y(x)$ є гладке і взаємно однозначне відображення області $Q$ на область $\Omega$ і $F\in W_{p}^{k}(\Omega )$, тоді функція $f(x)=F(y(x))$ належить простору $W_{p}^{k}(Q)$.
• Простори Соболєва $W_{p}^{k}(Q)$ є сепарабельними просторами.
• Якщо межа області $Q$ задовольняє умові Ліпшица, то множина $C^{\infty }({\overline {Q}})$ щільна в $W_{p}^{k}(Q)$.
• Нехай $u,v\in W_{p}^{k}(Q)$, де $Q$ — обмежена область в $R^{n}$, зіркова відносно деякого шару. Якщо $kp>n$, то їх поточковий добуток $uv$, визначений майже усюди в $Q$, належить простору $W_{p}^{k}(Q)$, більш того, існує додатна константа $C$, яка залежить лише від $k,n,p$ така, що

$\|uv\|_{W_{p}^{k}}\leq C\|u\|_{W_{p}^{k}}\|v\|_{W_{p}^{k}}$, іншими словами, $W_{p}^{k}(Q)$ є комутативною банаховую алгеброю, добуток в котрій узгоджений з нормою $\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)^{*}}=C\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}$.

• Простори $W_{p}^{k}(Q)$ при $1<p<\infty$ є рефлексивними просторами.
• Простори $W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)$ є гільбертовими просторами.

Простори Соболєва $H_{0}^{k}(Q)$

В крайових задачах для диференціальних рівнянь в часткових похідних важливу роль грають простори функцій із простора Соболєва, які мають нульові граничні умови. Ці простори позначаються через $H_{0}^{k}(Q)$ і вводяться як замикання множини $C_{0}^{\infty }(Q)$ по нормі простору $H^{k}(Q)$, де $C_{0}^{\infty }(Q)$ є множина фінітних в $Q$ нескінченно диференційованих функцій.

Простори $H_{0}^{k}(Q)$ є замкнутими підпросторами в $H^{k}(Q)$. За наявністю визначеної гладкості границі області $Q$ цей простір збігається з множиною функцій із $H^{k}(Q)$, які мають нульовий слід на межі області $Q$ и нульовий слід усіх узагальнених похідних аж до $k-1$-го порядку.

Простори Соболєва в усьому просторі

Простори Соболєва $H^{s}(R^{n})$ можна визначити за допомогою перетворення Фур'є. Для будь-якої функції $f(x)\in L_{2}(R^{n})$ визначено перетворення Фур'є ${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx$, при цьому, ${\hat {f}}(\omega )\in L_{2}(R^{n})$. Простір Соболєва $H^{s}(R^{n})$ визначається таким чином:

$H^{s}(R^{n})=\{f\in L_{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/2}{\hat {f}}(\omega )\in L_{2}(R^{n})\}$.

Простори Соболєва на торі

Нехай $T^{n}$ — $n$-мірний тор. Простір Соболєва на торі $T^{n}$, тобто $2\pi$-періодичних за всіма змінними функцій, можна визначити за допомогою багатовимірних рядів Фур'є:

$H^{k}(T^{n})=\{f\in L^{2}(T^{n}):\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{n}=-\infty }^{\infty }(1+m_{1}^{2k}+m_{2}^{2k}+\dots +m_{n}^{2k})|f_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}|^{2}<\infty \}$.

Простори Соболєва дробового порядку

Для того щоб не було плутанини, нецілочисельне k будемо позначати як s, тобто $W^{s,p}$ або $H^{s}$.

У випадку 0<s<1 простір $W^{s,p}$ складається з функцій $f\in L_{p}(Q)$, $Q\subset R^{n}$ таких, що

$\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|_{L_{p}(Q)}^{p}+\int _{Q}{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.$

Для нецілого s>1 покладемо $s=[s]+\sigma$, де $[s]$ — ціла частина s. Тоді $W^{s,p}(Q)$ складається з елементів $W^{[s],p}(Q)$ таких, що $D^{\alpha }f\in W^{\sigma ,p}(Q)$ для $|\alpha |=[s]$ з нормою

$\|f\|_{W^{s,p}}=\left(\|f\|_{W^{[s],p}(Q)}^{p}+\sum \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W^{\sigma ,p}(Q)}^{p}\right)^{1/p}.$

Простори Соболєва від'ємного порядку

При розгляді узагальнених рішень диференціальних рівнянь з частинними похідними природним чином виникає простори Соболєва від'ємного порядку. Простір $H^{-k}(Q)$ визначається за формулою:

$H^{-k}(Q)=\left(H_{0}^{k}(Q)\right)'$

де штрих означає сполучений простір. При цьому отримаємо, що простори Соболєва від'ємного порядку представляють собою простір узагальнених функцій. Так, наприклад, простір $H^{-1}(-1,1)$ містить $\delta$-функцію Дірака.

Теореми вкладання

Припускаючи, що межа області $Q\subset R^{n}$ задовольняє достатнім умовам гладкості, мають місце такі теореми вкладання.

Теорема вкладання Соболєва

Якщо $k+n/p<s$, то має місце неперервне вкладення

$W_{p}^{s}(Q)\subset C^{k}({\overline {Q}})$.

Тут $k$ є цілим і невід'ємним, а $s$ може бути і дробовим (простори Соболєва дробового порядку). Ця теорема відіграє важливу роль у теорії функціональних просторів і диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Теорема Реліха — Кондрашова

Нехай область $Q$ обмежена, $s_{1}>s_{2}$, $1<p_{1},p_{2}<\infty$ і $n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}$, тоді: вкладання $W_{p_{1}}^{s_{1}}(Q)\subset W_{p_{2}}^{s_{2}}$ цілком неперервно.

За допомогою теорем про компактність вкладання просторів Соболєва доводяться чимало теорем існування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Показові приклади

Простори Соболєва мають істотні відміни від просторів неперервно диференційованих функцій.

Приклад розривної функції

Нехай $Q=\{x\in R^{2}:|x|<1/2\}$ — коло на площині. Функція $u(x)=\ln |\ln |x||$ належить простору $H^{1}(Q)$, але має розрив другого роду в точці $x=0$.

Простори Соболєва в одномірному випадку

Функції з простору $H^{1}(a,b)$ є неперервними. Для будь-яких двох функцій з простору $H^{1}(a,b)$ добуток цих функцій також належить $H^{1}(a,b)$. Тому простір Соболєва першого порядку на відрізку є банаховою алгеброю.

Література

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976