Правильний трикутник

Правильний трикутник

Тип	Правильний багатокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній
Елементи	3 ребра 3 вершини
Позначення
Символ Шлефлі	{3}
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (x3o)
Група симетрії	D₃, порядок 6 (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

Правильний трикутник (тригон від грец. τρεῖς - три та γωνία -кут) — трикутник, у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають рівностороннім трикутником.

Також, правильний трикутник — геометрична фігура, правильний багатокутник з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або $\pi$ 3 радіан).

Правильний трикутник має три ліній дзеркальної симетрії, що проходять через його висоти, і обертову симетрію 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

Формули ред.

Нехай сторона правильного трикутника дорівнює $a$ . Тоді:

Периметр: $P=3a\,\!$ ;

Висота трикутника ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R$ ;

$h=r+R$

Апофема ‒ відстань від центру до сторони: $a_{p}=r={\frac {1}{3}}\cdot h$

Радіус вписаного кола (дотикається до всіх його сторін):

$r={\frac {\sqrt {3}}{6}}\cdot a={\frac {1}{2}}\cdot R={\frac {1}{3}}\cdot h$ ;

Радіус описаного кола ‒ проходить через всі його вершини:

$R={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot a=2\cdot r={\frac {2}{3}}\cdot h$

Радіус зовнівписаного кола ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

$r_{a}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a=3\cdot r={\frac {3}{2}}\cdot R=h$

Площа правильного трикутника: $S={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}=3{\sqrt {3}}\cdot r^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\cdot R^{2}={\frac {\sqrt {3}}{3}}\cdot h^{2}$

Усі ці формули можна вивести з теореми Піфагора.

Властивості ред.

Правильний трикутник має всі властивості, притаманні правильному багатокутнику та трикутнику.
Правильний трикутник є одночасно і рівностороннім і рівнокутним (за означенням).
В правильному трикутнику його висоти збігаються з його медіанами та бісектрисами кутів. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті на відстані 13 h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні $1:2$ від основи.
Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника.
В правильному трикутнику всі чудові точки трикутника знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає лінії Ейлера.
- Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:центр описаного кола, інцентр (центр вписаного кола), центроїд або ортоцентр.^[1]^:стор.37
- Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з точкою Наґеля або якщо його центр вписаного кола збігається з центром кола дев’яти точок.^[2]
В правильному трикутнику коло дев'яти точок збігається з вписаним колом.
Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох тіл Платона (правильного тетраедра, октаедра та ікосаедра), а також п'яти тіл Джонсона. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються дельтаедрами.
Також правильний трикутник є гранню для одного тіла Кеплера-Пуансо, а саме великого ікосаедра.
Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має зірчастої форми; інший — квадрат.

Паркет з рівносторонніх трикутників

Правильними трикутниками можна замостити площину без проміжків та накладень. Також в усіх напівправильних мозаїках^[en] присутній рівносторонній трикутник ^[3].
Правильний трикутник є першим в нескінченній родині правильних багатокутників, та третім в нескінченному сімействі n- симплексів, при n = 2.^[4]

Теореми, пов'язані з правильним трикутником ред.

Теорема Вівіані:

У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника.

Теорема Морлі:

Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного трикутника є вершинами рівностороннього трикутника.

Теорема Наполеона:

Якщо на кожній стороні трикутника побудувати рівносторонній трикутник (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.

Теорема Помпею:

Для довільного рівностороннього трикутника $\scriptstyle ABC$ та довільної точки $\scriptstyle P$ в його площині відрізки $\scriptstyle PA$ , $\scriptstyle PB$ та $\scriptstyle PC$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

Теореми Тебо 2 и 3
Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
1. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий радіус.^[5]^{:Теорема 1}
2. Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.^[5]^{:Наслідок7}
На плошині дано трикутник і довільну точку P.

$p$ , $q$ , $r$ ‒ відстані від точки P до сторін трикутника; $x$ , $y$ , $z$ ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність:^[6] ^{:стор.178,#235.4}

4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Геометрична побудова ред.

Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.

Рівносторонній трикутник можна накреслити за допомогою циркуля та лінійки. Для цього необхідно виконати такі дії:

Провести пряму та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
Провести коло;
Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

Альтернативний спосіб:

Накреслити коло довільного радіусу;
Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ Yiu, Paul (1998). Notes on Euclidean Geometry (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes).
↑ Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Boston, MA: Birkhäuser. с. 70, 113—115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.
↑ Grünbaum Branko; Shepard Geoffrey (November 1977). Tilings by Regular Polygons (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.
↑ H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co. LTD. с. 120—121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.
↑ ^а ^б Cerin, Zvonko (2004). The vertex-midpoint-centroid triangles (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97—109.
↑ Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum" (PDF).

Джерела ред.

Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади

Посилання ред.

Politope Wiki. Triangle
Weisstein, Eric W.Triangle. MathWorld.

[1] Yiu, Paul (1998). Notes on Euclidean Geometry (PDF). Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences (Course Notes).

[Andreescu-2] Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Complex Numbers from A to...Z. Boston, MA: Birkhäuser. с. 70, 113—115. doi:10.1007/0-8176-4449-0. ISBN 978-0-8176-4449-9. OCLC 871539199. S2CID 118951675.

[3] Grünbaum Branko; Shepard Geoffrey (November 1977). Tilings by Regular Polygons (PDF). Mathematics Magazine. Taylor & Francis, Ltd. 50 (5): 231–234. doi:10.2307/2689529. JSTOR 2689529. MR 1567647. S2CID 123776612. Zbl 0385.51006.

[4] H. S. M. Coxeter (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co. LTD. с. 120—121. OCLC 4766401. Zbl 0031.06502.

[Cerin-5] а ^б Cerin, Zvonko (2004). The vertex-midpoint-centroid triangles (PDF). Forum Geometricorum. 4: 97—109.

[Crux-6] Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum" (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]