Поліноми Лежандра

Ортогональні поліноми
Лежандра
Відкриті	Адрієн-Марі Лежандр
Формула	$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$
Диференціальне рівняння	${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0$
Визначені на	$\ [-1,+1]$
Вага	1
Норма	${2 \over {2n+1}}$
Примітки

Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі $[-1,1]$.

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів $1,x,x^{2},x^{3},\ldots$ за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$

або за рекурентними:

$P_{n+1}(x)={2n+1 \over {n+1}}xP_{n}(x)-{n \over {n+1}}P_{n-1}(x).$

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

Графіки поліномів Лежандра порядку $n=0,1,...,5$

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

$\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={1 \over {\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.$

Перші 9 поліномів Лежандра:

$\ P_{0}(x)=1$

$\ P_{1}(x)=x$

$P_{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$

$P_{3}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$

$P_{4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$

$P_{5}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)$

$P_{6}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)$

$P_{7}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)$

$P_{8}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)$

$P_{9}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)$

Ортогональність

Умова ортогональності справджується на інтервалі $[-1,1]$:

$\int \limits _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.$

де $\delta _{mn}$ — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції Лежандра

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

$P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),$

яку можна також представити у вигляді:

$P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).$

При $m=0$ функція $P_{n}^{m}$ збігається з $P_{n}$.

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

або еквівалентного йому:

$([1-x^{2}]\,y')'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

Застосування

Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута $\theta$, який змінюється від −1 при $\theta =\pi$ до 1 при $\theta =0$.

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr_{0}\cos \theta +r_{0}^{2}}}}={\frac {1}{r_{0}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2x\cos \theta +x^{2}}}}={\frac {1}{r_{0}}}\sum _{n}P_{n}(\cos \theta )x^{n}$,

де $x=r/r_{0}$, а $\cos \theta$ — кут між векторами $\mathbf {r}$ та $\mathbf {r} _{0}$.

Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)i^{l}j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta )$

де $j_{l}(x)$ — сферичні функції Бесселя.

Див. також

• Сферичні гармоніки

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)