Перетворення Гільберта

У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію $u(t)$ дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної $H(u)(t)$. Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією ${\dfrac {1}{\pi t}}$ (див. нижче Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на $\pm 90^{\circ }$ (${\dfrac {\pi }{2}}$ радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див. нижче Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення дійснозначного сигналу $u(t)$. Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта для аналітичних функцій.

Перетворення Гільберта прямокутного сигналу.

Означення

Перетворення Гільберта функції $u$ можна розглядати як згортку функції $u(t)$ з функцією $h(t)={\dfrac {1}{\pi t}}$, відомою як ядро Коші. Оскільки функція ${\dfrac {1}{t}}$ неінтегрована в околі $t=0$, то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як $\operatorname {p.v.}$). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) $u(t))$ визначається як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}$

за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції $u$ із помірним розподілом $\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi m}}$. Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}$

Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції $u$, то в результаті функція $u$ змінює знак:

${\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))(t)=-u(t),\end{aligned}}$

за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є $-\operatorname {H}$. Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції $u(t)$ (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).

Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція $f(z)$ є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини $\{z\colon \operatorname {Im} \{z\}>0\}$ і $u(t)=\operatorname {Re} \{f(t+0{\rm {i}})\})$, то $\operatorname {Im} \{f(t+0{\rm {i}})\}=\operatorname {H} (u)(t)$ з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.

Позначення

У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції $u(t)$ зазвичай позначають як ${\hat {u}}(t)$. Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції $u(t)$. Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення ${\tilde {u}}(t)$. Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.

Історія

Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій, яка стала відома як задача Рімана—Гільберта. Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі. Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок. Ці результати були послаблені для просторів $L^{2}$ та $l^{2}$. В 1928 році Марсель Ріс довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції $u$ у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ при $1<p<\infty$. Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ при $1<p<\infty )$, і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта. Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда та Альберта Кальдерона при дослідженні синулярних інтегралів. Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.

Зв'язок з перетворенням Фур'є

Перетворення Гільберта — це оператор множення. Множником оператора $\operatorname {H}$ є $\sigma _{\rm {H}}=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )$, де $\operatorname {sgn}$ — це функція знаку. Отже,

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\operatorname {H} (u))(t)(\omega )=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),\end{aligned}}$

де ${\mathcal {F}}$ — перетворення Фур'є.Оскільки $\operatorname {sgn} (x)=\operatorname {sgn} (2\pi x)$, то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є ${\mathcal {F}}$. Згідно з формулою Ейлера

$-i\,\operatorname {sgn} (\omega )={\begin{cases}{\rm {i}}={\rm {e}}^{+{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega <0,\\0,&{\text{при}}\ \omega =0,\\-{\rm {i}}={\rm {e}}^{-{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega >0.\end{cases}}$

Таким чином, перетворення Гільберта $\operatorname {H} (u)(t)$ має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції $u(t)$ на $90^{\circ }$ (${\frac {\pi }{2}}$) і для компонент з додатною частотою — на $-90^{\circ }$, а ${\rm {i}}\operatorname {H} (u)(t)$ має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на $+90^{\circ }$, що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на $-1$). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції $u(t)$ відповідно зміщуються на $+180^{\circ }$ та $-180^{\circ }$, які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто $\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u$, оскільки

${\begin{aligned}(\sigma _{\rm {H}}(\omega ))^{2}=e^{\pm {\rm {i}}\pi }=-1\quad {\text{для}}\quad \omega =0.\end{aligned}}$

Таблиця деяких перетворень Гільберта

У наступній таблиці, параметр частоти $\omega$ — є дійсним.

Сигнал $u(t)\,$	Перетворення Гільберта $H(u)(t)\,$
$\sin(\omega t)$	${\begin{array}{ll}\sin \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\sin \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}$
$\cos(\omega t)$,	${\begin{array}{ll}\cos \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\cos \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}$
${\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}$	${\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}$
${\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\omega t}$	${\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
Функція sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
Дельта-функція Дірака $\delta (t)\,$	${1 \over \pi t}$
Характеристична функція $\chi _{[a,b]}(x)\,$	${\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert \,$

Примітки

Доступна достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю

Область визначення

Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$, $1<p<\infty$.

Точніше, якщо функція $u$ з простору $L^{p}(\mathbb {R} )$, $1<p<\infty$, тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}$

існує для майже всіх $t$. Границя функції також існує в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau \rightarrow \operatorname {H} (u)(t),\end{aligned}}$

у нормі $L^{p}$ при $\varepsilon \rightarrow 0$. Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.

У випадку $p=1$ перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально. Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з $L^{1}$ є збіжним, але $L^{1}$ — у слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору $L^{1}$ у простір $L^{1,w}$. (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі $L^{2}$, то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор $\operatorname {H}$ є обмеженим у просторі $L^{p}$.)

Властивості

Обмеженість

Якщо $1<p<\infty$, то перетворення Гільберта в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа $C_{p}$ така, що

${\begin{aligned}\|\operatorname {H} u\|_{p}\leq C_{p}\|u\|_{p},\end{aligned}}$

для всіх $u\in L^{p}(\mathbb {R} )$. Найкраще константа $C_{p}$ визначається як

$C_{p}={\begin{cases}\operatorname {tg} {\dfrac {\pi }{2p}},&{\text{якщо}}~1<p\leq 2,\\\operatorname {ctg} {\dfrac {\pi }{2p}},&{\text{якщо}}~2<p<\infty .\end{cases}}$

Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи $C_{p}$ для $p$, яке є степенем $2$, через так звану рівність Котлара

${\begin{aligned}(\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)\end{aligned}}$

для всіх дійснозначних функцій $f$. Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.

З обмеженості перетворення Гільберта випливає $L^{p}(\mathbb {R} )$ збіжність симетричного оператора частинної суми

${\begin{aligned}S_{R}f=\int \limits _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi ){\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\xi }{\rm {d}}\xi \end{aligned}}$

для функції $f$ з простору $L^{p}(\mathbb {R} )$.

Антисамоспряженість

Перетворення Гільберта є антисамоспряженим оператором відносно дуального утворення пар між простором $L^{p}(\mathbb {R} )$ та дуальним простором $L^{q}(\mathbb {R} )$, де $p$ та $q$ — спряжені за Гельдером і $1<p$, $q<\infty$. У символьній формі

${\begin{aligned}\left\langle \operatorname {H} u,v\right\rangle =\left\langle u,-\operatorname {H} v\right\rangle \end{aligned}}$

для $u\in L^{p}(\mathbb {R} )$ та $v\in L^{q}(\mathbb {R} )$.

Обернене перетворення

Перетворення Гільберта є антиінволюцією, тобто

${\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u\end{aligned}}$

за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор $\operatorname {H}$ зберігає простір $L^{p}(\mathbb {R} )$, то перетворення Гільберта є оборотне в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ і

${\begin{aligned}\operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} .\end{aligned}}$

Структура над комплексною площиною

Оскільки $\operatorname {H} ^{2}=-\operatorname {I}$ ($\operatorname {I}$ — тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$, то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру в банаховому просторі. Зокрема, при $p=2$ перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.

Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді $\operatorname {H} ^{2}$.

Згортки

Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту

${\begin{aligned}h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}.\end{aligned}}$

Таким чином, формально можна записати

$\operatorname {H} (u)=h*u.$

Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції $u$ з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі $L^{p}$. Як альтернативу можна використати той факт, що $h(t)$ є узагальненою похідною від функції $\log {\dfrac {|t|}{\pi }}$, а саме

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right).\end{aligned}}$

Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v).\end{aligned}}$

Це строго коректно, якщо $u$ і $v$ — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку

${\begin{aligned}h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v).\end{aligned}}$

Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша випливає також коректність для $u\in L^{p}$ і $v\in L^{q}$ за умови, що

${\begin{aligned}1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}.\end{aligned}}$

Інваріантність

У просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:

• Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами $\operatorname {T} _{a}f(x)=f(x+a)$ для всіх $\alpha \in \mathbb {R}$.
• Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами $\operatorname {M} _{\lambda }f(x)=f(\lambda x)$ для всіх $\lambda >0$.
• Воно антикомутує з віддзеркаленням $Rf(x)=f(-x)$. Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі $L^{2}$, який володіє вищезгаданими властивостями. Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$ дія якої у просторі $L^{2}(\mathbb {R} )$ за допомогою унітарних операторів $\operatorname {U} _{g}$ визначається формулою

${\begin{aligned}\operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right),\quad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{для}}\quad ad-bc=\pm 1.\end{aligned}}$

Унітарне представлення — це приклад головного представлення ряду групи ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$. У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді $\operatorname {H} ^{2}$ і його дуального простору. Це простори $L^{2}$ граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору $L^{2}(\mathbb {R} )$, що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору $\operatorname {H} =-{\rm {i}}(2P-\operatorname {I} )$, де $P$ — це ортогональна проєкція з простору $L^{2}(\mathbb {R} )$ у простір $H^{2}(\mathbb {R} )$, $\operatorname {I}$ — тотожний оператор, то з цього випливає, що простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його ортогональний простір є власними просторами оператора $\operatorname {H}$ для власних значень $\pm {\rm {i}}$. Іншими словами оператор $\operatorname {H}$ комутує з унітарним оператором $\operatorname {U} _{g}$. Обмеження операторів $\operatorname {U} _{g}$ на простір $H^{2}(\mathbb {R} )$ і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи ${\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )$ — так названа границя представлень дискретних рядів.

Розширення області визначення

Перетворення Гільберта для узагальнених функцій

Перетворення Гільберта можна узагальнити на деякі простори узагальнених функцій (Pandey, 1996, Chapter 3). Оскільки перетворення Гільберта комутує з диференціюванням і є обмеженим оператором на просторі $L^{p}$, то оператор $\operatorname {H}$ звужується і отримуємо неперервне перетворення на проєктивній границіпросторів Соболєва:

${\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} ).\end{aligned}}$

Перетворення Гільберта можна визначити в дуальному просторі простору ${\mathcal {D}}_{L}^{p}$, позначається як ${\mathcal {D}}'_{L^{p}}$ і складається з $L^{p}$ узагальнених функцій. Це досягається за допомогою двоїстості: для всіх $u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}$ перетворення Гільберта визначається як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'={L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\quad {\text{для всіх}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.\end{aligned}}$

Перетворення Гільберта можна визначити на просторі узагальнених функцій повільного росту за допомогою підходу Гельфанда і Шилова, але необхідно значно більше уваги через сингулярність інтегралу.

Перетворення Гільберта для обмежених функцій

Перетворення Гільберта можна також визначити для функцій з простору $L^{\infty }(\mathbb {R} )$, але це потребує деяких модифікацій та застережень. При правильному розумінні перетворення Гільберта відображає простір $L^{\infty }(\mathbb {R} )$ у банаховий простіркласів функцій з обмеженими середніми коливаннями. При наївній інтерпретації перетворення Гільберта для обмежених функцій очевидно погано визначене. Наприклад, для функції $u=\operatorname {sgn} (x)$ інтеграл, що визначає перетворення Гільберта $\operatorname {H} (u)$ є розбіжним майже всюди до $\pm \infty$. Щоб уникнути таких складнощів, перетворення Гільберта для функцій з простору $L^{\infty }$ визначається наступною регуляризованою інтегральною формулою

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}$

де як і вище $h(x)={\dfrac {1}{\pi x}}$ і

${\begin{aligned}h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{для}}~|x|<1,\\{\dfrac {1}{\pi x}}&{\text{для}}~|x|\geq 1.\end{cases}}\end{aligned}}$

Модифіковане перетворення Гільберта узгоджується з оригінальним перетворенням Гільберта для функції з компактним носієм виходячи із загального результату Кальдерона і Зигмунда . Більше того, розглядуваний інтеграл збігається поточково і майже всюди (відносно норми для функцій з обмеженими середніми коливаннями) до функції з обмеженими середніми коливаннями. Глибокий результат роботи Вефермана полягає в тому, що функція є функцією з обмеженими середніми коливаннями тоді й лише тоді, коли вона має вигляд $+\operatorname {H} (g)$ для деяких $f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )$

Спряжені функції

Перетворення Гільберта можна зрозуміти в термінах пари функцій $f(x)$ і $g(x)$ таких, що функція

${\begin{aligned}F(x)=f(x)+{\rm {i}}g(x)\end{aligned}}$

є розв'язком крайової задачі голоморфної функції $F(z)$ у верхній півплощині. За цих умов, якщо функції $f$ і $g$ є достатньо інтегровані, тоді одна є перетворенням Гільберта іншої. Нехай $f\in L^{p}(\mathbb {R} )$, тоді згідно теорії інтеграла Пуассона, функція $f$ допускає єдине гармонічне продовження у верхній півплощині, і це продовження визначається як

${\begin{aligned}u(x+{\rm {i}}y)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\,{\rm {d}}s,\end{aligned}}$

тобто згорткою функції $f$ з ядром Пуассона

${\begin{aligned}P(x,y)={\frac {y}{\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Більше того, це єдина гармонічна функція $f$ визначена у верхній півплощині така, що $F(z)=u(z)+{\rm {i}}v(z)$ є голоморфною і

${\begin{aligned}\lim _{y\to \infty }v(x+{\rm {i}}y)=0.\end{aligned}}$

Гармонічна функція отримується з функції $f$ за допомогою згортки зі спряженим ядром Пуассона

${\begin{aligned}Q(x,y)={\frac {x}{\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Отже,

${\begin{aligned}v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\frac {x-s}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\,{\rm {d}}s.\end{aligned}}$

Справді, дійсна та уявна частини ядра Коші мають вигляд

${\begin{aligned}{\frac {\rm {i}}{\pi z}}=P(x,y)+{\rm {i}}Q(x,y).\end{aligned}}$

Таким чином, $F=u+{\rm {i}}v$ є голоморфною за інтегральною формулою Коші. Функція $v$ одержана з функції $u$ таким чином, називається гармонічно спряженою до функції $u$. (Недотична) границя на межі для функції $v(x,y)$ при $y\rightarrow 0$ є перетворенням Гільберта функції $f$. Таким чином,

${\begin{aligned}\operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f.\end{aligned}}$

Теорема Тітчмарша

Теорема Тітчмарша (названа на честь Е.Ч. Тітчмарша, який включив її у свою роботу 1937 року) уточнює зв'язок між граничними значеннями голоморфних функцій у верхній півплощині та перетворенням Гільберта. Теорема дає необхідні та достатні умови, щоб комплекснозначна квадратично інтегрована функція $F(x)$ на дійсній прямій була граничним значенням функції в просторі Гарді $H^{2}(U)$ голоморфних функцій у верхній півплощині $U$. Теорема стверджує, що наступні умови для комплекснозначної квадратично інтегрованої функції $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ еквівалентні:

• Функція $F(x)$ є границею при $z\rightarrow x$ голоморфної функції $F(z)$ у верхній півплощині такої, що

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm {i}}y)|^{2}\,{\rm {d}}x<K.\end{aligned}}$

• Дійсна і уявна частини функції $F(x)$ є перетвореннями Гільберта одна одної.
• Перетворення Фур'є ${\mathcal {F}}(F)(x)$ дорівнює нулю при $x<0$.

Більш слабший результат справедливий для функцій з класу Простір Lp при $p>1$. Зокрема, якщо $F(z)$ голоморфна функція така, що

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm {i}}y)|^{p}\,{\rm {d}}x<K\end{aligned}}$

для всіх $y$, то існує комплекснозначна функція $F(x)$ з простору $L^{p}(\mathbb {R} )$ така, що $F(x+{\rm {i}}y)\rightarrow F(x)$ в нормі простору $L^{p}$ при $y\rightarrow 0$ (а також збігається поточково майже скрізь. Крім того,

${\begin{aligned}F(x)=f(x)-{\rm {i}}g(x),\end{aligned}}$

де $f$ — це дійснозначна функція в просторі $L^{p}(\mathbb {R} )$ і $g$ — перетворення Гільберта функції $f$ (із класу $L^{p}$). Це не вірно у випадку $p=1$. Фактично, перетворення Гільберта функції $f$ з простору $L^{1}$ необов'язково збігається в середньому до іншої функції з простору $L^{1}$. Тим не менш, перетворення Гільберта функції $f$ збігається майже всюди до скінченної функції $g$ такої, що

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x<\infty .\end{aligned}}$

Цей результат прямо аналогічний результату Андрія Колмогорова для функцій Гарді на диску. Хоча цей результат зазвичай називають теоремою Тітчмарша, але він об'єднує багато інших робіт, включаючи роботи Гарді, Пелі і Вінера (див. теорему Пелі—Вінера, а також роботи Ріса, Хілле і Тамаркіна.

Задача Рімана—Гільберта

Одне з формулювань задачі Рімана—Гільберта спрямована на знаходження пар функцій $F_{+}$ та $F_{-}$ таких, що $F_{+}$ є голоморфною у верхній півплощині, а $F_{-}$ є голоморфною в нижній півплощині, таких, що для значень $x$ вздовж дійсної осі має місце співвідношення

${\begin{aligned}F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x),\end{aligned}}$

де $f(x)$ — деяка задана дійснозначна функція при $x\in \mathbb {R}$. Ліву частину цього співвідношення можна розуміти або як різницю границь функцій $F_{\pm }$ з відповідних півплощин, або як гіперфункції розподілу. Дві функції такого вигляду — розв'язки задачі Рімана — Гільберта. Формально, якщо $F_{\pm }$ є розв'язками задачі Рімана—Гільберта

${\begin{aligned}f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x),\end{aligned}}$

то перетворення Гільберта функції $f(x)$ визначається як

${\begin{aligned}\operatorname {H} (f)(x)=-{\rm {i}}{\big (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\big )}.\end{aligned}}$

Перетворення Гільберта на колі

Див. також: Простір Гарді Для періодичної функції $f$ визначено кругове перетворення Гільберта:

${\begin{aligned}{\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\operatorname {ctg} \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,{\rm {d}}t.\end{aligned}}$

Кругове перетворення Гільберта використовується для характеристики простору Гарді та для дослідженні спряженої функції в рядах Фур'є. Ядро

${\begin{aligned}\operatorname {ctg} \left({\frac {x-t}{2}}\right)\end{aligned}}$

відоме як ядро Гільберта, оскільки саме у такому вигляді спочатку досліджувалося перетворення Гільберта. Ядро Гільберта (для кругового перетворення Гільберта) можна отримати, зробивши ядро Коші ${\dfrac {1}{x}}$ періодичним. Точніше, для $x\neq 0$

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{x-2n\pi }}\right).\end{aligned}}$

Багато результатів про кругове перетворення Гільберта можна отримати завдяки цьому співвідношенню з відповідних результатів для перетворення Гільберта. Інший більш прямий зв'язок забезпечується за допомогою перетворення Келі $C(x)={\dfrac {x-{\rm {i}}}{x+{\rm {i}}}}$, яке переводить дійсну пряму у коло, а верхню півплощину — у одиничний диск. Перетворення Келі породжується унітарним відображенням

${\begin{aligned}Uf(x)={\frac {1}{(x+{\rm {i}}){\sqrt {\pi }}}}f(C(x))\end{aligned}}$

з $L^{2}(\mathbb {T} )$ в $L^{2}(\mathbb {R} )$. Оператор переводить простір Гарді $H^{2}(\mathbb {T} )$ в простір Гарді $L^{2}(\mathbb {R} )$.

Перетворення Гільберта при обробці сигналів

Теорема Бедросяна

Теорема Бедросяна стверджує, що перетворення Гільберта добутку низькочастотного і високочастотного сигналу зі спектрами, що не перекриваються, задається добутком низькочастотного сигналу і перетворення Гільберта високочастотного сигналу або

${\begin{aligned}\operatorname {H} \left(f_{\rm {LP}}(t)\cdot f_{\rm {HP}}(t)\right)=f_{\rm {LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\rm {HP}}(t)\right),\end{aligned}}$

де $f_{\rm {LP}}$ і $f_{\rm {HP}}$ — відповідно низько та високочастотні сигнали.Категорія сигналів зв'язку, до якої це відноситься, називається вузькосмуговою моделлю сигналу. Членом цієї категорії є амплітудна модуляція високочастотної синусоїдального носія

${\begin{aligned}u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi ),\end{aligned}}$

де $u_{m}(t)$ — вузькосмуговий сигнал повідомлення, наприклад, голос або музика. Тоді за теоремою Бедросяна

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)=u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi ).\end{aligned}}$

Аналітичне представлення

Основна стаття: Аналітичний сигнал Специфічним типом спряженої функції є

${\begin{aligned}u_{a}(t)\triangleq u(t)+{\rm {i}}\cdot \operatorname {H} (u)(t),\end{aligned}}$

відомий як аналітичне представлення функції $u(t)$. Назва відображає його математичну придатність, здебільшого завдяки формулі Ейлера. Застосовуючи теорему Бедросяна до вузькосмугової моделі, аналітичне представлення набуває вигляду

${\begin{aligned}u_{a}(t)&=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )+{\rm {i}}\cdot u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi )\\&=u_{m}(t)\cdot \left[\cos(\omega t+\phi )+{\rm {i}}\cdot \sin(\omega t+\phi )\right]\\&=u_{m}(t)\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}(\omega t+\phi )}.\end{aligned}}$

( 1 )

Властивість перетворення Фур'є вказує, що ця складна гетеродина операція може зсунути всі від'ємні частотні компоненти $u_{m}(t)$ вище $0$ Гц. У цьому випадку уявна частина результату є перетворенням Гільберта дійсної частини. Це непрямий спосіб отримання перетворення Гільберта.

Кутова (фазова/частотна) модуляція

Форма

${\begin{aligned}u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\phi _{m}(t))\end{aligned}}$

називається кутовою модуляцією, який включає як фазову модуляціяю так і частотну модуляцію. Миттєва частота дорівнює $\omega +\phi '_{m}(t)$. Для досить великих $\omega$ порівняно з $\phi '_{m}$:

${\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\phi _{m}(t))\end{aligned}}$

і

${\begin{aligned}u_{a}(t)\approx A\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}(\omega t+\phi _{m}(t))}.\end{aligned}}$

Односмугова модуляція

Основна стаття: Односмугова модуляція Якщо $u_{m}(t)$ в рівнянні Eq.1 є також аналітичним представленням (форма сигналу повідомлення), тобто

${\begin{aligned}u_{m}(t)=m(t)+{\rm {i}}\cdot {\widehat {m}}(t),\end{aligned}}$

то результат Односмуговою модуляцією:

${\begin{aligned}u_{a}(t)=(m(t)+{\rm {i}}\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{{\rm {i}}(\omega t+\phi )},\end{aligned}}$

передана компонента якої дорівнює

${\begin{aligned}{\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi ).\end{aligned}}\end{aligned}}$

Казуальність

Функція $h(t)={\dfrac {1}{\pi t}}$ представляє дві проблеми до практичної реалізації у вигляді згортки

• Її тривалість нескінченна (технічно нескінчений носій). Замість цього необхідно використовувати наближення скінченної довжини.

Але віконна довжина також зменшує ефективний частотний діапазон перетворення. Чим менше вікно, тим більші втрати на низьких і високих частотах. Див. також квадратурний фільтр.

• Це некаузальний фільтр. Отже, необхідна версія із запізненням, $h(t-\tau )$. Відповідний вихід згодом затримується на $\tau$. При створенні уявної частини аналітичного сигналу, джерело (дійсна частина) має мати запізнення на еквівалентну величину.

Дискретне перетворення Гільберта

Для дискретної функції $u[n]$ з дискретним за часом перетворенням Фур'є (DTFT), $U(\omega )$, і дискретне перетворення Гільберта ${\hat {u}}[n]$, DTFT функції ${\hat {u}}[n]$ в області $-\pi <\omega <\pi$ визначається як

${\begin{aligned}\operatorname {DTFT} ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-{\rm {i}}\cdot \operatorname {sgn} (\omega )).\end{aligned}}$

Обернене DTFT, використовуючи теорему про згортки, має вигляд:

${\begin{aligned}{\begin{aligned}{\hat {u}}[n]&=\operatorname {DTFT} ^{-1}(U(\omega ))*\operatorname {DTFT} ^{-1}(-{\rm {i}}\cdot \operatorname {sgn} (\omega ))\\&=u[n]*{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-{\rm {i}}\cdot \operatorname {sgn} (\omega ))\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega n}\,{\rm {d}}\omega \\&=u[n]*\underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}{\rm {i}}\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega n}\,{\rm {d}}\omega -\int _{0}^{\pi }{\rm {i}}\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega n}\,{\rm {d}}\omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}\end{aligned}}$

де

${\begin{aligned}h[n]\triangleq {\begin{cases}0,&{\text{якщо }}n{\text{ парне}},\\{\dfrac {2}{\pi n}},&{\text{якщо }}n{\text{ непарне}},\end{cases}}\end{aligned}}$

...

Див. також

• Простір Lp
• Співвідношення Крамерса-Кроніґа

Література

• Bracewell, R. (1986). The Fourier Transform and Its Applications, 2nd ed, McGraw-Hill.