Передавальна функція штучного нейрона

Функція активації, або передавальна функція (англ. activation function, також excitation function, squashing function, transfer function) штучного нейрона — залежність вихідного сигналу штучного нейрона від вхідного.

Зазвичай передавальна функція $\phi {(x)}$ відображає дійсні числа на інтервал ${(-1,1)}$ або ${(0,1)}$.

Більшість видів нейронних мереж для функції активації використовують сигмоїди. ADALINE і самоорганізаційні карти використовують лінійні функції активації, а радіально базисні мережі використовують радіальні базисні функції.

Математично доведено, що тришаровий перцептрон з використанням сигмоїдної функції активації може апроксимувати будь-яку неперервну функцію з довільною точністю (Теорема Цибенка).

Метод зворотного поширення помилки вимагає, щоб функція активації була неперервною, нелінійною, монотонно зростаючою, і диференційовною.

В задачі багатокласової класифікації нейрони останнього шару зазвичай використовують softmax як функцію активації.

У хемометриці — функція, яка використовується в методі нейронної сітки для перетворення у вузлах вхідних даних з будь-якої області значень (зокрема неперервних) у чітко окреслений ряд значень (напр., в 0 чи 1).

Порівняння передавальних функцій

Деякі бажані властивості передавальної функції включають:

• Нелінійна — коли передавальна функція нелінійна, то, як доведено, двошарова нейронна мережа є універсальною апроксимацією функцій. Тотожна передавальна функція не має такої властивості. Коли декілька шарів використовують тотожну передавальну функцію, тоді вся мережа еквівалентна одношаровій моделі.
• Неперервна диференційовність — ця властивість бажана (RELU не є неперервно диференційовною і має неоднозначне рішення для оптимізації заснованій на градієнті) для використання методів оптимізації заснованих на градієнті. Передавальна функція двійковий крок не диференційовна у 0, але диференційовна в усіх інших значення, що є проблемою для методів заснованих на градієнті.
• Область визначення.
• Монотонність.
• Гладка функція з монотонною похідною.
• Наближення до тотожної функції $f(x)=x$ в початку координат.

У наступній таблиці порівнюються деякі передавальні функції від однієї змінної x з попереднього шару:

Назва	Графік	Рівняння	Похідна (по x)	Область	Порядок гладкості	Монотонність	Монотонність похідної	Наближення до Тотожної функції в початку координат
Тотожна		$f(x)=x$	$f'(x)=1$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{\infty }$	Так	Так	Так
Двійковий крок		$f(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x\neq 0\\?&{\text{for }}x=0\end{cases}}$	$\{0,1\}$	$C^{-1}$	Так	Ні	Ні
Логістична (a.k.a. Сігмоїда або М'який крок)		$f(x)=\sigma (x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$	$f'(x)=f(x)(1-f(x))$	$(0,1)$	$C^{\infty }$	Так	Ні	Ні
TanH		$f(x)=\tanh(x)={\frac {(e^{x}-e^{-x})}{(e^{x}+e^{-x})}}$	$f'(x)=1-f(x)^{2}$	$(-1,1)$	$C^{\infty }$	Так	Ні	Так
ArcTan		$f(x)=\tan ^{-1}(x)$	$f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$	$C^{\infty }$	Так	Ні	Так
Softsign		$f(x)={\frac {x}{1+|x|}}$	$f'(x)={\frac {1}{(1+|x|)^{2}}}$	$(-1,1)$	$C^{1}$	Так	Ні	Так
Inverse square root unit (ISRU)		$f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+\alpha x^{2}}}}$	$f'(x)=\left({\frac {1}{\sqrt {1+\alpha x^{2}}}}\right)^{3}$	$\left(-{\frac {1}{\sqrt {\alpha }}},{\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\right)$	$C^{\infty }$	Так	Ні	Так
Випрямлена лінійна (Rectified linear unit, ReLU)		$f(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$[0,\infty )$	$C^{0}$	Так	Так	Ні
Leaky rectified linear unit (Leaky ReLU)		$f(x)={\begin{cases}0.01x&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(x)={\begin{cases}0.01&{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$	Так	Так	Ні
Parameteric rectified linear unit (PReLU)		$f(\alpha ,x)={\begin{cases}\alpha x&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(\alpha ,x)={\begin{cases}\alpha &{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$	Так ↔ $\alpha \geqslant 0$	Так	Так ↔ $\alpha =1$
Randomized leaky rectified linear unit (RReLU)		$f(\alpha ,x)={\begin{cases}\alpha x&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(\alpha ,x)={\begin{cases}\alpha &{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$	Так	Так	Ні
Exponential linear unit (ELU)		$f(\alpha ,x)={\begin{cases}\alpha (e^{x}-1)&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(\alpha ,x)={\begin{cases}f(\alpha ,x)+\alpha &{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$(-\alpha ,\infty )$	${\begin{cases}C_{1}&{\text{when }}\alpha =1\\C_{0}&{\text{otherwise }}\end{cases}}$	Так ↔ $\alpha \geqslant 0$	Так ↔ $0\leqslant \alpha \leqslant 1$	Так ↔ $\alpha =1$
Scaled exponential linear unit (SELU)		$f(\alpha ,x)=\lambda {\begin{cases}\alpha (e^{x}-1)&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$ з $\lambda =1.0507$ та $\alpha =1.67326$	$f'(\alpha ,x)=\lambda {\begin{cases}\alpha (e^{x})&{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$(-\lambda \alpha ,\infty )$	$C^{0}$	Так	Ні	Ні
S-shaped rectified linear activation unit (SReLU)		$f_{t_{l},a_{l},t_{r},a_{r}}(x)={\begin{cases}t_{l}+a_{l}(x-t_{l})&{\text{for }}x\leqslant t_{l}\\x&{\text{for }}t_{l}<x<t_{r}\\t_{r}+a_{r}(x-t_{r})&{\text{for }}x\geqslant t_{r}\end{cases}}$ $t_{l},a_{l},t_{r},a_{r}$ are parameters.	$f'_{t_{l},a_{l},t_{r},a_{r}}(x)={\begin{cases}a_{l}&{\text{for }}x\leqslant t_{l}\\1&{\text{for }}t_{l}<x<t_{r}\\a_{r}&{\text{for }}x\geqslant t_{r}\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$	Ні	Ні	Ні
Inverse square root linear unit (ISRLU)		$f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\sqrt {1+\alpha x^{2}}}}&{\text{for }}x<0\\x&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$f'(x)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {1+\alpha x^{2}}}}\right)^{3}&{\text{for }}x<0\\1&{\text{for }}x\geqslant 0\end{cases}}$	$\left(-{\frac {1}{\sqrt {\alpha }}},\infty \right)$	$C^{2}$	Так	Так	Так
Adaptive piecewise linear (APL)		$f(x)=\max(0,x)+\sum _{s=1}^{S}a_{i}^{s}\max(0,-x+b_{i}^{s})$	$f'(x)=H(x)-\sum _{s=1}^{S}a_{i}^{s}H(-x+b_{i}^{s})$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$	Ні	Ні	Ні
SoftPlus		$f(x)=\ln(1+e^{x})$	$f'(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$	$(0,\infty )$	$C^{\infty }$	Так	Так	Ні
Bent identity		$f(x)={\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{2}}+x$	$f'(x)={\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}+1$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{\infty }$	Так	Так	Так
Sigmoid-weighted linear unit (SiLU) (a.k.a. Swish)		$f(x)=x\cdot \sigma (x)$	$f'(x)=f(x)+\sigma (x)(1-f(x))$	$[\approx -0.28,\infty )$	$C^{\infty }$	Ні	Ні	Ні
SoftExponential		$f(\alpha ,x)={\begin{cases}-{\frac {\ln(1-\alpha (x+\alpha ))}{\alpha }}&{\text{for }}\alpha <0\\x&{\text{for }}\alpha =0\\{\frac {e^{\alpha x}-1}{\alpha }}+\alpha &{\text{for }}\alpha >0\end{cases}}$	$f'(\alpha ,x)={\begin{cases}{\frac {1}{1-\alpha (\alpha +x)}}&{\text{for }}\alpha <0\\e^{\alpha x}&{\text{for }}\alpha \geqslant 0\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{\infty }$	Так	Так	Так ↔ $\alpha =0$
Синусоїда		$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$	$[-1,1]$	$C^{\infty }$	Ні	Ні	Так
Sinc		$f(x)={\begin{cases}1&{\text{for }}x=0\\{\frac {\sin(x)}{x}}&{\text{for }}x\neq 0\end{cases}}$	$f'(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x=0\\{\frac {\cos(x)}{x}}-{\frac {\sin(x)}{x^{2}}}&{\text{for }}x\neq 0\end{cases}}$	$[\approx -.217234,1]$	$C^{\infty }$	Ні	Ні	Ні
Гауссіан		$f(x)=e^{-x^{2}}$	$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}$	$(0,1]$	$C^{\infty }$	Ні	Ні	Ні

↑ Тут, H це функція Гевісайда.

↑ α є стохастичною змінною вибраною з нормального розподілу під час навчання і зафіксована як очікуване значення розподілу до часу тестування.

↑ ↑ ↑ Тут, $\sigma$ — логістична функція.

↑  $\alpha >0$ виконується для всього інтервалу.

Наступна таблиця містить передавальні функції від декількох змінних:

Назва	Рівняння	Похідна(ні)	Область	Порядок гладкості
Softmax	$f_{i}({\vec {x}})={\frac {e^{x_{i}}}{\sum _{j=1}^{J}e^{x_{j}}}}$    for i = 1, …, J	${\frac {\partial f_{i}({\vec {x}})}{\partial x_{j}}}=f_{i}({\vec {x}})(\delta _{ij}-f_{j}({\vec {x}}))$	$(0,1)$	$C^{\infty }$
Maxout	$f({\vec {x}})=\max _{i}x_{i}$	${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\begin{cases}1&{\text{for }}j={\underset {i}{\operatorname {argmax} }}\,x_{i}\\0&{\text{for }}j\neq {\underset {i}{\operatorname {argmax} }}\,x_{i}\end{cases}}$	$(-\infty ,\infty )$	$C^{0}$

↑  Тут, $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Див. також

• Функція втрат