Однорідний многочлен

У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь. Наприклад, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ — однорідний поліном $5$-го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює $5$. Поліном $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.

Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом. Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.

Поліном степеня $0$ завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня $1$ є лінійною формою. Форма степеня $2$ є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.

Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці. Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проєктивний алгебраїчний многовид визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.

Властивості

Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном $P$ є однорідним степеня $d$, то

${\begin{aligned}P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\dots ,x_{n}),\end{aligned}}$

виконується для будь-якого $\lambda$ і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома $P$. І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості $\lambda$, то поліном є однорідним степеня $d$. Зокрема, якщо поліном $P$ однорідний, то

${\begin{aligned}P(x_{1},\dots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=0\end{aligned}}$

для будь-якого $\lambda$. Ця властивість є фундаментальною при визначенні проєктивного многовиду.

Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.

Для заданого кільця поліномів $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ над полем (або, у загальному випадку, кільцем) $K$ однорідні поліноми степеня $d$ утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як $R_{d}$. Наведене вище однозначне розкладання означає, що $R$ є прямою сумою модулів $R_{d}$ (сума за всіма невід'ємними цілими числами).

Розмірність векторного простору (або вільного модуля) $R_{d}$ — це кількість різних одночленів степеня $d$ з $n$ змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня $d$ від $n$ змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту

${\begin{aligned}{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.\end{aligned}}$

Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо $P$ є однорідним поліномом степеня $d$ від невідомих $x_{1},\dots ,x_{n}$, то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)

${\begin{aligned}{\rm {d}}P=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},\end{aligned}}$

де ${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ означає формальну частинну похідну від $P$ відносно $x_{i}$.

Гомогенізація

Неоднорідний поліном $P(x_{1},\dots ,x_{n})$ можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну $x_{0}$ і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як $^{h}\!P$:

${\begin{aligned}{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),\end{aligned}}$

де $d$ степінь полінома $P$. Наприклад, якщо

$P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,$

то

$^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.$

Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну $x_{0}=1$. Тобто

$P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).$

Див. також

• Мультиоднорідний поліном
• Квазіоднорідний поліном
• Діагональна форма
• Градуйована алгебра
• Многочлен Гільберта
• Полілінійна форма
• Мультилінійна функція
• Поляризація алгебричної форми
• Поліном Шура
• Символ диференціального оператора

Зовнішні посилання

• Media related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. “Homogeneous Polynomial“. MathWorld.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)