Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.
Позначення
ред.
Якщо тензор 4-ранга
c
i
j
k
l
{\displaystyle c_{ijkl}}
c
i
j
k
l
=
c
j
i
k
l
{\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl}}
c
i
j
k
l
=
c
i
j
l
k
{\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk}}
то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:
11
→
1
{\displaystyle 11\rightarrow 1}
22
→
2
{\displaystyle 22\rightarrow 2}
33
→
3
{\displaystyle 33\rightarrow 3}
23
,
32
→
4
{\displaystyle 23,32\rightarrow 4}
13
,
31
→
5
{\displaystyle 13,31\rightarrow 5}
12
,
21
→
6
{\displaystyle 12,21\rightarrow 6}
Наприклад, компонента
c
3122
{\displaystyle c_{3122}}
C
52
{\displaystyle C_{52}}
Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів.
При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць.
Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.
Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.
При цьому вводяться такі позначення:
ε
i
=
ε
i
i
,
σ
i
=
σ
i
i
{\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{ii},\qquad \sigma _{i}=\sigma _{ii}}
для i = 1,2,3.
ε
4
=
ε
23
+
ε
32
,
σ
4
=
σ
23
+
σ
32
{\displaystyle \varepsilon _{4}=\varepsilon _{23}+\varepsilon _{32},\qquad \sigma _{4}=\sigma _{23}+\sigma _{32}}
ε
5
=
ε
13
+
ε
31
,
σ
5
=
σ
13
+
σ
31
{\displaystyle \varepsilon _{5}=\varepsilon _{13}+\varepsilon _{31},\qquad \sigma _{5}=\sigma _{13}+\sigma _{31}}
ε
6
=
ε
12
+
ε
21
,
σ
6
=
σ
12
+
σ
21
{\displaystyle \varepsilon _{6}=\varepsilon _{12}+\varepsilon _{21},\qquad \sigma _{6}=\sigma _{12}+\sigma _{21}}
Матричний запис закону Гука
ред.
Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення
(
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
σ
6
)
=
(
c
11
c
12
c
13
c
14
c
15
c
16
c
21
c
22
c
23
c
24
c
25
c
26
c
31
c
32
c
33
c
34
c
35
c
36
c
41
c
42
c
43
c
44
c
45
c
46
c
51
c
52
c
53
c
54
c
55
c
56
c
61
c
62
c
63
c
64
c
65
c
66
)
(
ε
1
ε
2
ε
3
ε
4
ε
5
ε
6
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\c_{51}&c_{52}&c_{53}&c_{54}&c_{55}&c_{56}\\c_{61}&c_{62}&c_{63}&c_{64}&c_{65}&c_{66}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right)}
Матриця жорсткості симетрична
c
i
k
=
c
k
1
{\displaystyle c_{ik}=c_{k1}}
а тому здебільшого її зображають в трикутній формі
(
c
11
c
12
c
13
c
14
c
15
c
16
c
22
c
23
c
24
c
25
c
26
c
33
c
34
c
35
c
36
c
44
c
45
c
46
c
55
c
56
c
66
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\&&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\&&&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\&&&&c_{55}&c_{56}\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}
Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має
менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.
Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.
Тринадцять незалежних пружніх сталих
(
c
11
c
12
c
13
0
c
15
0
c
22
c
23
0
c
25
0
c
33
0
c
35
0
c
44
0
c
46
c
55
0
c
66
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&c_{15}&0\\&c_{22}&c_{23}&0&c_{25}&0\\&&c_{33}&0&c_{35}&0\\&&&c_{44}&0&c_{46}\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}
9 незалежних елементів
(
c
11
c
12
c
13
0
0
0
c
22
c
23
0
0
0
c
33
0
0
0
c
44
0
0
c
55
0
c
66
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{22}&c_{23}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}
Кристалічні класи 4,
4
¯
{\displaystyle {\bar {4}}}
(
c
11
c
12
c
13
c
14
c
15
c
16
c
11
c
13
0
0
−
c
16
c
33
0
0
0
c
44
0
0
c
55
0
c
66
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{11}&c_{13}&0&0&-c_{16}\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}
Кристалічні класи 422, 4mm,
4
¯
{\displaystyle {\bar {4}}}
(
c
11
c
12
c
13
c
14
c
15
0
c
11
c
13
0
0
0
c
33
0
0
0
c
44
0
0
c
55
0
c
66
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}
Кристалічні класи
3
¯
{\displaystyle {\bar {3}}}
(
c
11
c
12
c
13
c
14
−
c
15
0
c
11
c
13
c
14
c
15
0
c
33
0
0
0
c
44
0
c
15
c
55
c
14
(
c
11
−
c
12
)
/
2
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&-c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&c_{15}\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}
Кристалічні класи 32б 3m та
3
¯
{\displaystyle {\bar {3}}}
(
c
11
c
12
c
13
c
14
0
0
c
11
c
13
−
c
14
0
0
c
33
0
0
0
c
44
0
0
c
55
c
14
(
c
11
−
c
12
)
/
2
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\&c_{11}&c_{13}&-c_{14}&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}
Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності
(
c
11
c
12
c
13
0
0
0
c
11
c
13
0
0
0
c
33
0
0
0
c
44
0
0
c
44
0
(
c
11
−
c
12
)
/
2
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}
Три незалежних модулі пружності
(
c
11
c
12
c
12
0
0
0
c
11
c
12
0
0
0
c
11
0
0
0
c
44
0
0
c
44
0
c
44
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&c_{44}\\\end{matrix}}\right)}
Ізотропне середовище
ред.
Два незалежних модулі пружності
(
c
11
c
12
c
12
0
0
0
c
11
c
12
0
0
0
c
11
0
0
0
(
c
11
−
c
12
)
/
2
0
0
(
c
11
−
c
12
)
/
2
0
(
c
11
−
c
12
)
/
2
)
{\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&(c_{11}-c_{12})/2&0&0\\&&&&(c_{11}-c_{12})/2&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}
Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов . Москва: Энергоатомиздат. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг . Тензорное исчисление . — М. : Наука, 1969. — 352 с.В. Новацкий . Теория упругости / пер. Б. Е. Победря [ru] Т.Д. Шермергор . Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.
