Нетеровий топологічний простір

Нетеровий простір — топологічний простір X, що задовольняє умові обриву спадних ланцюгів замкнутих підмножин. Тобто для кожної послідовності замкнутих підмножин $Y_{i}$ простору X, такої що:

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots ,$

існує ціле число r, що $Y_{s}=Y_{r},~\forall s>r.$

Еквівалентне умова: будь-яке непорожнє сімейство замкнутих підмножин в X, впорядковане щодо включення має мінімальний елемент.

Властивості

• Будь-який підпростір простору Нетер знову є простором Нетер.
• Якщо простір X допускає скінченне покриття нетеровими підпросторами, то X теж є нетеровим.
• Простір X є простором Нетер тоді і тільки тоді, коли будь-яка відкрита підмножина в X є компактною.
• Нетеровий простір X є об'єднанням скінченного числа своїх незвідних компонент.

Приклади

Нетерові простори часто зустрічаються у алгебричній геометрії.

• Простір $\mathbb {A} _{k}^{n}$ (афінний n-вимірний простір над полем k) із топологією Зариського є топологічним простором Нетер. Згідно з означенням топології Зариського в $\mathbb {A} _{k}^{n},$ якщо

$Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots$

є спадна послідовність замкнутих множин, то

$I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots$

є зростаючою послідовністю ідеалів $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ($I(Y_{i})$ позначає ідеал поліноміальних функцій, що рівні нулю в кожній точці $(Y_{i})$). Оскільки $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ є кільцем Нетер, існує ціле число m, таке що

$I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})=\cdots .$

Зважаючи на однозначну відповідність між радикальними ідеалами $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ і замкнутими (в топології Заріскі) множинами $\mathbb {A} _{k}^{n}$ виконується $V(I(Y_{i}))=Y_{i}$ для всіх i. Тому: $Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots$

• Прикладами нетерових просторів є спектри комутативних кілець. Для кільця R простір Spec(R) (спектр R) є нетеровим тоді і тільки тоді, коли R — кільце Нетер.

Див. також

• Кільце Нетер

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії