Неперервний рівномірний розподіл

Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Неперервний рівномірний розподіл
Із застосуванням конвенції максимуму
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$-\infty <a<b<\infty \,$
Носій функції	$x\in [a,b]$
Розподіл імовірностей	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&x\in [a,b]\\0&x\notin [a,b]\end{cases}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&x\in [a,b]\\1&x\geq b\end{cases}}$
Середнє	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Медіана	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Мода	будь-яке значення з $[a,b]$
Дисперсія	${\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}$
Коефіцієнт асиметрії	0
Коефіцієнт ексцесу	$-{\tfrac {6}{5}}$
Ентропія	$\ln(b-a)\,$
Твірна функція моментів (mgf)	${\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}$
Характеристична функція	${\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}$

Визначення

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку $[a,b]$, де $a,b\in \mathbb {R}$, якщо щільність $f_{X}(x)$ має вигляд:

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over b-a},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{matrix}}\right..$

Пишуть: $X\sim U[a,b]$. Деколи значення щільності в граничних точках $x=a$ і $x=b$ міняють на інші, наприклад ${1/2(b-a)}$. Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Функція розподілу

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:

$F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leq x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{x-a \over b-a},&a\leq x<b\\1,&x\geq b\end{matrix}}\right..$

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка $[a,b]$, то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

${\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{a,b\}$.

Функція моментів

Простим інтегруванням отримуємо:

$M_{X}(t)={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$,

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

$\mathbb {E} \left[X\right]={\frac {a+b}{2}}$,

$\mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}$,

$\operatorname {D} X={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$.

Таким чином

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n}{a^{k}b^{n-k}}$.

Стандартний рівномірний розподіл

Якщо $a=0$, а $b=1$, тобто $X\sim U[0,1]$, то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження: Якщо випадкова величина $X\sim U[0,1]$, і $Y=a+(b-a)X$, де $a<b$, то $Y\sim U[a,b]$. Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

Див. також

• Дискретний рівномірний розподіл
• Рівномірно розподілена послідовність

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)