Неперервна справа функція з лівосторонніми границями

В математиці, càdlàg (фр. continu à droite, limite à gauche, або англійською RCLL або англ. “right continuous with left limits”) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.

Функції розподілу випадкової величини є прикладами càdlàg функцій

Означення

Нехай (M, d) — метричний простір, і E ⊆ R. Функція ƒ: E → M називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх t ∈ E,

• лівостороння границя ƒ(t−) := lim_s↑t ƒ(s) існує; і
• правостороння границя ƒ(t+) := lim_s↓t ƒ(s) існує і дорівнює ƒ(t).

Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями.

Приклади

• Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
• Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням.
• Права похідна $f_{+}^{\prime }$ будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцією^{[джерело?]}.

Простір Скорохода

Множина усіх càdlàg функцій ƒ: E → M часто позначається як D(E; M) (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо E = [0, T] та M = Rⁿ — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог модуля неперервності, ϖ′_ƒ(δ). Для будь-якого F ⊆ E визначимо

$w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|$

і для δ > 0 визначимо càdlàg modulus як

$\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),$

де infimum береться по всім розподілам Π = {0 = t₀ < t₁ < … < t_k = T}, k ∈ N з min_i (t_i − t_i−1) > δ. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді ϖ′_ƒ(δ) → 0 коли δ → 0.

Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай

$\|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|$

позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так

$\sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},$

де I: E → E є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" ||λ − I|| вимірює розмір "збурення в часі", а ||ƒ − g○λ|| вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.

Властивості простору Скорохода

Узагальнення однорідної торології

Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.

Повнота

Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ₀ з якою D є повним.

Сепарабельність

Якщо σ або σ₀, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.

Щільність простору Скорохода

Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μ_n)_n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:

$\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,$

та

$\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ для всіх }}\varepsilon >0.$

Алгебраїчна та топологічна структура

При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:

Нехай $E=[0,2)$ одиничний интервал, а $f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in D$ послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що $f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}$ в топології Скорохода, послідовність $f_{n}-\chi _{[1,2)}$ не збігається до 0.

Див. також

• Неперервна функція
• Границя функції

Джерела

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.