Модуль над кільцем

Модуль над кільцем — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що є узагальненням понять:

• векторного простору (це модуль над полем);
• комутативної групи (це модуль над кільцем цілих чисел $\mathbb {Z}$);
• ідеала кільця (це модуль, що є підкільцем).

Назви ідеал та модуль походять з модульної арифметики, а саме з кратності за модулем.

Ідеалом кільця є його підкільце замкнене відносно множення на елементи кільця. Наприклад: числа кратні $\ n$ серед всіх цілих чисел.

Багато результатів для ідеалів є справедливими, якщо прибрати множення, а залишити тільки кратність елементів, тобто, замінити підкільце до незалежну комутативну групу.

Визначення

Коли задано кільце $\ R$, то$\ R$-модулем називається абелева група $(M,+)$ з додатковою операцією множення на елементи кільця $R\times M\to M$,

що задовільняє умови дистрибутивності та асоціативності $\forall \;m_{1},m_{2}\in M,\;\;r_{1},r_{2}\in R:$

1. $r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2}$,
2. $(r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m$,
3. $(r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m)$,
4. $1_{R}\cdot m=m$.

Якщо кільце є некомутативним, то такий модуль називається лівим. Для визначення правого модуля замінюють умову (3) на:

$m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2}$.

Підмодуль, ідеал та гомоморфізм

• Підмодулем модуля $M_{R}$ називається підгрупа групи $M$, замкнута відносно множення на елементи з $R$.

• Якщо кільце розглядати як (лівий) модуль над собою ($R=M$), тоді його підмодулі є лівими ідеалами; якщо кільце розглядати як правий модуль — правими ідеалами. В комутативному кільці ліві і праві ідеали збігаються.

• Гомоморфізмом $R$-модулів $A$ та $B$ називається гомоморфізм груп $f\colon A\to B$, для якого виконується умова $f(ra)=rf(a)\;\;\forall a\in A,r\in R$. Множину всіх таких гомоморфізмів позначають $\mathrm {Hom} _{R}(A,\ B)$.

Приклади

• Абелева група — модуль над кільцем цілих чисел ($\mathbb {Z}$-модуль).
• Лінійний простір над полем $F$ є модулем над полем $F$.
• Лінійний простір $V$ — модуль над кільцем всіх своїх лінійних перетворень $L(V)$.

Історія

Найпростіші $\mathbb {Z}$-модулі зустрічаються вже в роботах Гауса. Поняття модуля зустрічається вперше в 60-80-х роках 19 ст. в роботах Дедекінда та Кронекера. У той же час проводилось дослідження скінченномірних асоціативних алгебр (Пірс, Фробеніус), що призвело до вивчення ідеалів деяких некомутативних кілець. Спочатку теорія модулів розвивалась як теорія ідеалів деякого кільця, лише в роботах Еммі Нетер було замічено, що багато результатів можна зформулювати для довільних модулів, а не тільки ідеалів.

Див. також

• Бімодуль

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)