Максимальний ідеал

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості

• Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал $I\,$ кільця $R\,$ максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце $R/I\,$ є простим кільцем.

Дійсно, якщо кільце $R/I\,$ має власний ідеал $M\,$, то $I+M$ буде власним ідеалом кільця $R\,$, що суперечить максимальності ідеалу $I\,$.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

• Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу $\ I$ кільця $\ R$ існує максимальний ідеал кільця $\ R$, який його містить.

• Якщо елемент $a\,$ кільця $R\,$ не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент $a\,$ оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.

• Якщо всі необоротні елементи кільця $R\,$ утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці $R\,$ немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці $R\,$ існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце $R\,$ називається локальним.

• Для комутативного кільця ідеал $I\,$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.

• Якщо кільце $\ R$ має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$, фактор-кільце по максимальному ідеалу $\ R/I$ ізоморфне $\mathbb {C}$. В цьому випадку ідеал $\ I$ визначає гомоморфізм кільця $\ R$ в полі $\mathbb {C}$, ядром якого є ідеал $\ I$.
  Для кожного a існує єдина $\lambda _{a}$, таке що $a-\lambda _{a}e\in I$ (e - одиниця алгебри R). Відповідність $a\to \lambda _{a}$ і є той самий гомоморфізм.

• З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.

Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел $2\mathbb {Z}$ ідеал $4\mathbb {Z}$ є максимальним, проте $2\cdot 2=4,$ хоч $2\notin 4\mathbb {Z} .$

Приклади

• У кільці цілих чисел $\mathbb {Z}$ максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
• У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебрично замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд $I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]:f(a,b)=0\},\quad a,b\in k$.
• Кільце формальних степеневих рядів $k[[X]]$ над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
• У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці $x\in [a,b]$ є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Якщо позначити $I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\}$ для деякої точки $x\in [a,b],$ то I_x є ідеалом і фактор-кільце $R/I_{x}$ є ізоморфним полю дійсних чисел, тож I_x є максимальним ідеалом.

Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина $Z(I):=\bigcap _{f\in I}f^{-1}(\{0\})$ є непустою, тобто існує точка $x\in [a,b]$ для якої $f(x)=0$ для всіх $f\in I.$ Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то $\{f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\}):f\in I\}$ є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій $f_{i},\ 1\leqslant i\leqslant n.$ Тоді функція $g(x)=\sum _{1=1}^{n}f(x)^{2}$ належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки $1/g\in C([a,b]),$ то $1\in I$ і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує $x\in [a,b]$ для якої $f(x)=0$ для всіх $f\in I.$ Тоді I є підідеалом ідеалу $I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\},$ який і є максимальним.

Кільця без максимальних ідеалів

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}$ де $a_{n}\in \mathbb {R}$ і $0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots$ дійсні числа для яких $\lim _{x\to \infty }\alpha _{n}=\infty$.

Для ненульового такого ряду можна вважати $a_{n}\neq 0.$ Для $f=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}\in R$ де $0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots$ і $a_{1}\neq 0$ визначимо $\deg f=\alpha _{1}$. Очевидно $\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g$ і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай $S=\mathbb {R} +R$ і $g\in R\setminus I$. Визначимо $J=Sg$. Тоді J є ідеалом R. Оскільки $\forall h\in J:\ \deg h\geq \deg g,$ то $J\neq R$.

Отже J є власним ідеалом в R. Також $I\neq J$ оскільки $g\in J\setminus I$. Нехай $f\in I$. Якщо f = 0, тоді очевидно $f\in J$. Розглянемо тепер $f\neq 0$. Припустимо $\deg g>\deg f$. Тоді ${\frac {g}{f}}\in R$ і звідси $g\in Rf\subseteq I$, що суперечить визначенню g. Тому $\deg g\leq \deg f$ і звідси ${\frac {f}{g}}\in S$. Отже $f\in Sg=J$. Відповідно $I\subset J\subset R$, що суперечить максимальності ідеалу $I$. $\ \Box$

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)