Магма (алгебра)

Ма́гма (групоїд) — базова алгебрична структура в абстрактній алгебрі; складається з множини М з однією бінарною операцією M × M → M, яку зазвичай називають множенням. Єдиною вимогою є замкнутість множини щодо заданої операції.

Кубічна ґратка алгебричних структур
від магми до групи.

Термін магма запропонував Бурбакі. Термін «групоїд» старіший, його запропонував Ойстін Оре, але в сучасній літературі цим терміном частіше позначають іншу загальноалгебричну структуру — теоретико-категорний групоїд.

Найбільш вивченими типами магм є:

• Права квазігрупа — групоїд, в якому можливе праве ділення, тобто рівняння $x\cdot a=b$ завжди має єдиний розв'язок $\forall a,b\in Q.$
• Квазігрупа — одночасно права й ліва квазігрупи.
  • Лупа (петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа): $\exists e\in L:\;a\cdot e=e\cdot a=a.$
• Напівгрупа — асоціативний групоїд: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$
  • Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
• Група — моноїд з діленням або асоціативна лупа: $\forall a\;\;\exists a^{-1}:\;\;a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e.$

Додаткові види магм

Магма (М, *) називається

• унітарною — якщо вона має нейтральний елемент,
• медіалом — якщо виконується xy * uz = xu * yz,
  • лівим напів-медіалом — якщо виконується xx * yz = xy * xz,
  • правим напів-медіалом — якщо виконується yz * xx = yx * zx,
  • напів-медіалом — якщо вона є лівим та правим напів-медіалом одночасно,
• дистрибутивною зліва — якщо виконується x * yz = xy * xz,
• дистрибутивною справа — якщо виконується yz * x = yx * zx,
• автодистрибутивною — якщо вона є дистрибутивною зліва та справа одночасно,
• комутативною — якщо виконується xy = yx,
• ідемпотентною — якщо виконується xx = x,
• юніпотентною — якщо виконується xx = yy,
• нульпотентною — якщо виконується xx * y = yy * x = xx,
• альтернативною — якщо виконується xx * y = x * xy та x * yy = xy * y,
• степенево-альтернативною — якщо підмагма що утвориться буде асоціативною,
• скорочуваною зліва — якщо виконується xy = xz → y = z
• скорочуваною зліва — якщо виконується yx = zx → y = z
• скорочуваною — якщо вона є скорочуваною зліва та справа одночасно,
• напівгрупою — якщо виконується x * yz = xy * z (асоціативність),
  • напівгрупою з лівими нулями — якщо виконується x = xy,
  • напівгрупою з правими нулями — якщо виконується x = yx,
  • напівгрупою з нульовим множенням — якщо виконується xy = uv,
• унарною зліва — якщо виконується xy = xz,
• унарною справа — якщо виконується yx = zx.

Морфізм магм

Морфізм магм — це функція f:M → N, що відображає магму M на магму N, та зберігає бінарну операцію:

$f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)$

де $*_{M}$ та $*_{N}$ означають бінарні операції на M та на N відповідно.

Див. також

• Універсальна алгебра

Література

• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)