Лемніската Бернуллі

Лемніската Бернуллі — геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Лемніската і її фокуси

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню.

Рівняння

Розглянемо простий випадок: якщо відстань між фокусами $2c$, розташовані вони на осі $OX$, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскату:

• в прямокутних координатах:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Вивід  

Фокуси лемнискати — $F_{1}(-c;0)$ і $F_{2}(c;0)$. Візьмемо довільну точку $M(x;y)$. Добуток відстаней від фокусів до точки $M$ є

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$,

і за означенням вона дорівнює $c^{2}$:

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}$

Піднесемо в квадрат дві частини рівності:

$\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}$

Розкриємо дужки в лівій частині:

$\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}$

Розкриємо дужки і згорнемо новий квадрат суми

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0$

Винесемо спільний множник і перенесемо:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Далі можна зробити заміну $a^{2}=2c^{2}$:

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$

В даному випадку $a$ — радіус поверхні, що описує лемніскату.

Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$

Вивід  

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Піднесемо в квадрат і розкриємо дужки:

$\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}$

Приведемо до вигляду

$\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0$

Це квадратне рівняння відносно $y^{2}$. Розв'язавши його, отримаємо

$\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+2x^{2}c^{2}}}$

Взявши корінь і відкинувши варіант з від'ємною другою змінною, отримаємо:

$\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$

де додатній варіант визначає верхню половину лемніскати, від'ємний — нижню.

• в полярних координатах:

$\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$

Вивід  

$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})$

Використовуючи формули переходу до полярної системи координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ отримаємо:

${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}$

Винесемо спільні множники і використаємо тригонометричну тотожність $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$:

$\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )$

Використаємо ще одну тотожність: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$:

$\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi$

Поділимо на $\rho ^{2}$, вважаючи, що $\rho \neq 0$:

$\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$

Як і в випадку прямокутної системи можна замінити $a^{2}=2c^{2}$:

$\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$

• Параметричне рівняння в прямокутній системі:

${\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}$, де $p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}$

Вивід  

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

Приклад  

Нехай, наприклад, $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ — фокуси.

Існує прямокутна система координат (на малюнку — $\textstyle x''Oy''$), в якій рівняння лемніскати має вигляд

$\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0$

Необхідно визначити перетворення системи координат, що переводить $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$. Це перетворення здійснюється в два етапи: паралельне перенесення і поворот.

Середина відрізка $F_{1}F_{2}$ — $\textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)$, значить перенос тільки на $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ по осі $OX$:

${\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}$

Після переносу системи координат її потрібно повернути на деякий кут. Для визначення кута спочатку знайдемо відстань між фокусами:

$2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5$

значить $c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$.

Тепер із геометричних міркувань знайдемо синус і косинус кута нахилу $F_{1}F_{2}$ к $OX$:

$\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })$

$\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}$

Формули перетворення:

${\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}$

Поєднавши обидва перетворення, отримаємо скінченні формули переходу:

${\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}$

Для того, щоб отримати рівняння в стандартній системі координат, підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння кривої:

$\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0$

Після перетворень:

$x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0$

Це рівняння задає лемніскату з фокусами $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ в стандартній прямокутній системі координат.

Властивості

Лемніската, вписана в коло

• Лемніската — крива четвертого порядку.
• Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить $F_{1}F_{2}$, і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простішому (даному) випадку — вісь $OY$.
• Точка, де лемниската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.
• Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:

  ${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$

• Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі $OY$ в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.
• Дотичні в подвійній точці складають з відрізком $F_{1}F_{2}$ кути $\textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}$.
• Лемніскату описує поверхня радіуса $\textstyle a=c{\sqrt {2}}$, тому деколи в рівняннях проводять цю заміну.
• Інверсія відносно поверхні з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в рівнобічну гіперболу.
• В полярних координатах $\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$, вірне наступне
  • Площа полярного сектора $\varphi \in [0,\alpha ]$, при $\textstyle 0\leq \alpha \leq {\frac {\pi }{4}}$:

    $\textstyle S(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}\sin 2\alpha$

    • Площа кожної петлі $\textstyle 2S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$.
  • Радіус кривини лемніскати є $\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Вивід  

Рівняння лемніскати в полярній системі:

$\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }$

Формули переходу до полярної системи координат:

${\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}$

Виразимо $\textstyle \rho$:

${\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}$

Підставимо в рівняння лемнискати і виразимо $x$ і $y$:

${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}$

—- це параметричне рівняння відносно $\varphi$. Проводячи деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно $\textstyle p$ Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:

$R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}$

Знайдемо похідні по $\varphi$:

$x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$

$x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$

$y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$

$y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$

Підставимо в формулу радіуса:

$R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$

Повернемося до рівняння лемніскати:

$\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}$

Підставимо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримаємо:

$R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Побудова

Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків

З допомогою трьох відрізків

Це один із найбільш простих і швидких способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки — $A$ і $B$ — наступні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох скріплених в ряд на шарнірах відрізках, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох містах (точки вигину — $C$ и $D$). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: $\textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB$. Краї лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описує лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)

Будується поверхня радіуса $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$ з центром в одному із фокусів. Із середини $O$ фокусного відрізка будується довільна січна $OPS$ ($P$ i $S$ — точки перетину з поверхнею), і на ній в обидві сторони відкладуються відрізки $OM_{1}$ і $OM_{2}$, рівні хорді $PS$. Точки $M_{1}$, $M_{2}$ лежать на різних петлях лемніскати.

Див. також

• Лемніската
• Овал Кассіні

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1800+ с.(укр.)