Лема Стейніца про заміну

Лема Стейніца про заміну — твердження в лінійній алгебрі про те, що довільну множину лінійно незалежних векторів у (скінченновимірному) лінійному просторі можна доповнити до базису простору елементами деякого заданого базису. Лема використовується в доведенні твердження про однакову кількість елементів у всіх базисах скінченновимірного лінійного простору.

Названа на честь німецького математика Ернста Стейніца.

Твердження Леми

Нехай $X=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ — базис лінійного простору $V,$ а $Y=\{w_{1},\ldots w_{s}\}$ — множина лінійно незалежних векторів. Тоді:

1. $s\leqslant n$
2. Серед векторів $v_{1},\ldots ,v_{n}$ можна вибрати підмножину $X'$ з $n-s$ векторів, які разом з $w_{1},\ldots w_{s}$ утворюють базис простору $V$.

Доведення

Доведення здійснюється методом математичної індукції за величиною $s=|Y|$.

Для $s=0$, $Y$ є пустою множиною і тоді $X'=X$.

Припустимо твердження є справедливим для всіх множин $Y$, для яких $|Y|=s-1$. Покажемо справедливість для $|Y|=s$.

Визначимо множину $Y=\{w_{1},\ldots w_{s}\}$ і $Y_{1}=\{w_{1},\ldots w_{s-1}\}$. З припущення індукції $s-1\leqslant n$ і існує підмножина $X'_{1}\subset X$, така що $|X'_{1}|=n-(s-1)$ і $\langle X'_{1}\cup Y_{1}\rangle =V$. Для визначеності припустимо що $X'_{1}=\lbrace v_{1},\ldots ,v_{n-s+1}\rbrace$.

Оскільки множина $\langle X'_{1}\cup Y_{1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{n-s+1},w_{1},\ldots w_{s-1}\rangle$ є базисом лінійного простору то:

$w_{s}=\alpha _{1}v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}v_{n-s+1}+\beta _{1}w_{1}+\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}$

для деяких скалярів $\alpha _{i},\beta _{i}$.

Для деякого $i$, виконується $\alpha _{i}\neq 0$, бо в іншому разі $w_{s}=\beta _{1}w_{1}+\ldots \beta _{s-1}w_{s-1}$, що суперечить лінійній незалежності векторів з $Y$. Без втрати загальності нехай $\alpha _{n-s+1}\neq 0$.

Тоді

$v_{n-s+1}=\alpha _{n-s+1}^{-1}(w_{s}-\alpha _{1}v_{1}-\ldots -\alpha _{n-s}v_{n-s}-\beta _{1}w_{1}-\ldots \beta _{s-1}w_{s-1})$.

Тоді $V=\langle v_{1},\ldots ,v_{n-s},w_{1},\ldots w_{s}\rangle$, тобто для кожного $v\in V$ визначені скаляри $\alpha _{i}',\beta _{i}'$, для яких

$v=\alpha _{1}'v_{1}+\ldots +\alpha _{n-s+1}'v_{n-s+1}+\beta _{1}'w_{1}+\ldots \beta _{s-1}'w_{s-1}$.

Достатньо взяти $X'=\{v_{1},\ldots ,v_{n-s}\}$. Тоді $\langle X'\cup Y\rangle =V$.

Також $s-1<n$. Якщо б було $s-1=n$, то $\langle Y_{1}\rangle =V$ і відповідно $w_{s}\in \langle Y_{1}\rangle$, що суперечило б лінійній незалежності $Y$. Оскільки $s-1$< $n$ то $s\leqslant n$.

Джерела

• Cohn, P. M. (1982), Algebra, т. Vol. 1 (вид. 2nd), Chichester: John Wiley & Sons, с. xv+410, ISBN 0-471-10169-9